104 中教大教師專業碩士班

[thepiano]

提供一下填充題參考答案
第 4 題，題目好像有問題，做不出來

計算證明
第 1 題
用數學歸納法

第 2 題
用反證法

[acdimns]

請教2,3,5~12,麻煩老師了,謝謝。

[thepiano]

第 2 題
x ≦ -1 或 x ≧ 7
(x + 1)(x - 7) ≧ 0
x^2 - 6x ≧ 7
(x - 3)^2 ≧ 4^2
|x - 3| ≧ 4
|-x + 3| ≧ 4
|-x/3 + 1| ≧ 4/3
a = -1/3，b = 4/3
a^2 + b^2 = 17/9


第 3 題
√(21 + 6√6) = √(21 + 2√54) = √18 + √3 = 3√2 + √3
√(5 - √24) = √(5 - 2√6) = √3 - √2
相減後 = 4√2 = 2^(5/2)

令所求為 x
16^x = 2^(5/2)
2^(4x) = 2^(5/2)
x = 5/8


第 5 題
x = 1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + 100^5
2^5 + 100^5 = (2 + 100)(2^4 - 2^3 * 100 + 2^2 * 100^2 - 2 * 100^3 + 100^4) 是 6 的倍數 (因為 102 是 6 的倍數)
同理
3^5 + 99^5
:
:
50^5 + 52^5
也是 6 的倍數

剩下 1^5 + 51^5

51 ≡ 3 (mod 6)
51^5 ≡ 3^5 = 243 ≡ 3 (mod 6)

所求 = 1 + 3 = 4


第 6 題
9^1 ≡ 9 (mod 100)
9^2 ≡ 81 (mod 100)
9^3 ≡ 29 (mod 100)
9^4 ≡ 61 (mod 100)
9^5 ≡ 49 (mod 100)
9^6 ≡ 41 (mod 100)
9^7 ≡ 69 (mod 100)
9^8 ≡ 21 (mod 100)
9^9 ≡ 89 (mod 100)
9^10 ≡ 1 (mod 100)
9^11 ≡ 9 (mod 100)

9^9 ≡ (-1)^9 ≡ -1 ≡ 9 (mod 10)

9^(9^9) ≡ 9^9 ≡ 89 (mod 100)

所求 = 8 * 9 = 72


第 7 題
cosA = 4/5，sinA = 3/5
cosB = 1/√2，sinB = 1/√2
sinC = sin(A + B) = (3/5) * 1/√2 + (4/5) * 1/√2 = (7/10)√2


第 8 題
|向量 a| = 2
|向量 b| = 1

|2向量 a + 向量 b|^2
= 4(向量 a)^2 + 4 * 向量 a ． 向量 b + (向量 b)^2 = 23
16 + 4 * 向量 a ． 向量 b + 1 = 23
向量 a ． 向量 b = 3/2

|3向量 a + 2向量 b|^2
= 9(向量 a)^2 + 12 * 向量 a ． 向量 b + 4(向量 b)^2 = 58

|3向量 a + 2向量 b| = √58


第 9 題
由 GA = GC 知 BA = BC
設直線 BG 交 AC 於 D
GD = (1/2)GB = 3/2，BD = 9/2
AD^2 = 2^2 - (3/2)^2 = 7/4
AB = √[(9/2)^2 + 7/4] = √22


第 10 題
PMQ = R
P^(-1)PMQ = P^(-1)R
MQ = P^(-1)R
MQQ^(-1) = P^(-1)RQ^(-1)
M = P^(-1)RQ^(-1)
先求出 P 和 Q 的反矩陣，再乘起來


第 11 題
Σ(ij) (j = 1 ~ 3) = i + 2i + 3i = 6i
Σ(6i) (i = 1 ~ 4) = 6Σi (i = 1 ~ 4) = 6 * (1 + 2 + 3 + 4) = 60


第 12 題
4/3，16/9，12/5，這三個分數乘以一個最小的分數後，都變為正整數
由於分數要最小，分子取 3、9、5 的最小公倍數，分母取 4、16、12 的最大公因數
故答案為 45/4

[acdimns]

謝謝老師,還有些內容不太了解,
第 5 題
2^5 + 100^5 = (2 + 100)(2^4 - 2^3 * 100 + 2^2 * 100^2 - 2 * 100^3 + 100^4)
這個是公式嗎?
第 7 題
sinC = sin(A + B) 是怎麼知道的?
第 9 題
AD^2 = 2^2 - (3/2)^2 = 7/4
這是直角三角形的計算方法嗎?如何得知ADG是直角三角形?

[thepiano]

(5)
x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
次數是奇數的都可以......

(7)
∠C = 180度 - (∠A + ∠B)
sinC = sin(2π - (A + B)) = sin(A + B)

(9)
BA = BC
AD = CD
BD 共用
△ABD 和 △CBD 全等
∠ADB = ∠CDB = 90 度