向量

[ruby0519]

如附件

[thepiano]

第 1 題
定座標 A(0，0)，B(3，-4)，C(-4，-3)，D(3 - 4t，-4 - 3t)
AB = AC = 5，△ABC 是等腰三角形
由於 AD 平分 ∠BAC
向量 AD 和向量 BC 會垂直
......


第 2 題
1 ≦ S(n) ≦ 28 (當 n = 1999)
1 ≦ S(S(n)) ≦ 10 (當 S(n) = 19，28)

1969 = 2007 - 28 - 10 ≦ n ≦ 2007 - 1 - 1 = 2005

由於 n ≡ S(n) ≡ S(S(n)) (mod 9)
n + S(n) + S(S(n)) = 2007 ≡ 0 (mod 9)
故 n ≡ S(n) ≡ S(S(n)) ≡ 0 or 3 or 6 (mod 9) ≡ 0 (mod 3)

檢查 1969 ～ 2005 之間 3 的倍數可知 n = 1977，1980，1983，2001

[ruby0519]

第 2 題
1 ≦ S(n) ≦ 28 (當 n = 1999)
1 ≦ S(S(n)) ≦ 10 (當 S(n) = 19，28)

1969 = 2007 - 28 - 10 ≦ n ≦ 2007 - 1 - 1 = 2005

由於 n ≡ S(n) ≡ S(S(n)) (mod 9)n + S(n) + S(S(n)) = 2007 ≡ 0 (mod 9)
故 n ≡ S(n) ≡ S(S(n)) ≡ 0 or 3 or 6 (mod 9) ≡ 0 (mod 3)

檢查 1969 ～ 2005 之間 3 的倍數可知 n = 1977，1980，1983，2001

老師何以得知紅色這一行呢
謝謝老師

[thepiano]

例子
n = 1987 = 1000 + 900 + 80 + 7
S(n) = 1 + 9 + 8 + 7
S(n) 比 n 少了 1 * 999 + 9 * 99 + 8 * 9 此乃 9 之倍數

故 n ≡ S(n) (mod 9)

同理 S(n) ≡ S(S(n)) (mod 9)