數學6問
版主: thepiano
Re: 數學6問
第 1 題
∠BAE = ∠ACD，∠AEB = ∠CFA = 120度
△AEB 和 △CFA 相似
AE / CF = AB / AC = 2
AE = 2CF，EF = CF
AF = CF
∠ACF = 30 度
∠ACB = 90 度
第 2 題
(1)若小南取到 9
則小南所排成的數一定比希薇所排成的數大
而小南取到 9 的機率是 C(8，2) / C(9，3) = 1/3
(2) 若小南未取到 9
小南所排成的數 = 希薇所排成的數 的機率是 1/C(8，3) = 1/56
小南所排成的數比希薇所排成的數大 的機率是 (1- 1/3) * [(1 - 1/56) / 2] = 55/168
所求 = 1/3 + 55/168
第 3 題
題目應改成以下較妥當
在圓周上有 8 個點，做出連接這 8 個點的所有線段，其中任何三條線段都不在圓的內部相交於同一點。
請問這些線段所相交圍成的三角形中，有多少個三角形其頂點全部落在圓的內部？(註：圓周上的點不算在圓的內部)。
圓周上每 6 個點可決定 1 個符合題目要求之三角形
答案是 C(8，6)
第 4 題
應該是從第 1 個盒子開始取吧？
P(1) = 1/2 (第 1 顆紅)
P(2) = 1/2 * 1/3 (第 1 顆白，第 2 顆紅)
P(3) = 1/2 * 2/3 * 1/4 (第 1 顆白，第 2 顆白，第 3 顆紅)
P(4) = 1/2 * 2/3 * 3/4 * 1/5 (第 1 顆白，第 2 顆白，第 3 顆白，第 4 顆紅)
:
:
P(n) = (1/n) * [1/(n + 1)]
......
第 5 題
還沒想到較簡捷的方法 ......
不過答案是 12 沒錯！
第 6 題
由於每次都要減去 "最大可能的平方數"，且此平方數小於或等於前一項
故 n 要符合以下條件
n - a^2 ≧ 0 且 n - (a + 1)^2 ＜ 0
令 n - a^2 = m
m - (2a + 1) ＜ 0
a ＞ (m - 1)/2
a ≧ m/2
接下來逆推回去 (記得 n 要最小)
0
1 - 1^2 = 0
2 - 1^2 = 1
3 - 1^2 = 2
7 - 2^2 = 3
23 - 4^2 = 7
167 - 12^2 = 23
7223 - 84^2 = 167
N 最小是 7223
∠BAE = ∠ACD，∠AEB = ∠CFA = 120度
△AEB 和 △CFA 相似
AE / CF = AB / AC = 2
AE = 2CF，EF = CF
AF = CF
∠ACF = 30 度
∠ACB = 90 度
第 2 題
(1)若小南取到 9
則小南所排成的數一定比希薇所排成的數大
而小南取到 9 的機率是 C(8，2) / C(9，3) = 1/3
(2) 若小南未取到 9
小南所排成的數 = 希薇所排成的數 的機率是 1/C(8，3) = 1/56
小南所排成的數比希薇所排成的數大 的機率是 (1- 1/3) * [(1 - 1/56) / 2] = 55/168
所求 = 1/3 + 55/168
第 3 題
題目應改成以下較妥當
在圓周上有 8 個點，做出連接這 8 個點的所有線段，其中任何三條線段都不在圓的內部相交於同一點。
請問這些線段所相交圍成的三角形中，有多少個三角形其頂點全部落在圓的內部？(註：圓周上的點不算在圓的內部)。
圓周上每 6 個點可決定 1 個符合題目要求之三角形
答案是 C(8，6)
第 4 題
應該是從第 1 個盒子開始取吧？
P(1) = 1/2 (第 1 顆紅)
P(2) = 1/2 * 1/3 (第 1 顆白，第 2 顆紅)
P(3) = 1/2 * 2/3 * 1/4 (第 1 顆白，第 2 顆白，第 3 顆紅)
P(4) = 1/2 * 2/3 * 3/4 * 1/5 (第 1 顆白，第 2 顆白，第 3 顆白，第 4 顆紅)
:
:
P(n) = (1/n) * [1/(n + 1)]
......
第 5 題
還沒想到較簡捷的方法 ......
不過答案是 12 沒錯！
第 6 題
由於每次都要減去 "最大可能的平方數"，且此平方數小於或等於前一項
故 n 要符合以下條件
n - a^2 ≧ 0 且 n - (a + 1)^2 ＜ 0
令 n - a^2 = m
m - (2a + 1) ＜ 0
a ＞ (m - 1)/2
a ≧ m/2
接下來逆推回去 (記得 n 要最小)
0
1 - 1^2 = 0
2 - 1^2 = 1
3 - 1^2 = 2
7 - 2^2 = 3
23 - 4^2 = 7
167 - 12^2 = 23
7223 - 84^2 = 167
N 最小是 7223
Re: 數學6問
第 2 題
(1)若小南取到 9
則小南所排成的數一定比希薇所排成的數大
而小南取到 9 的機率是 C(8，2) / C(9，3) = 1/3
(2) 若小南未取到 9
小南所排成的數 = 希薇所排成的數 的機率是 1/C(8，3) = 1/56
小南所排成的數比希薇所排成的數大 的機率是 (1- 1/3) * [(1 - 1/56) / 2] = 55/168所求 = 1/3 + 55/168
老師請問紅色字的部份
為何要(1- 1/3)
又為何[(1 - 1/56) / 2]
這個部份不懂
第5題
請問如果要思考這題的解題方式
應該如何計算呢
謝謝老師
(1)若小南取到 9
則小南所排成的數一定比希薇所排成的數大
而小南取到 9 的機率是 C(8，2) / C(9，3) = 1/3
(2) 若小南未取到 9
小南所排成的數 = 希薇所排成的數 的機率是 1/C(8，3) = 1/56
小南所排成的數比希薇所排成的數大 的機率是 (1- 1/3) * [(1 - 1/56) / 2] = 55/168所求 = 1/3 + 55/168
老師請問紅色字的部份
為何要(1- 1/3)
又為何[(1 - 1/56) / 2]
這個部份不懂
第5題
請問如果要思考這題的解題方式
應該如何計算呢
謝謝老師
Re: 數學6問
第 5 題
實在想不透，一個高中生的數學測驗為何要出這麼難的題目？
這題的關鍵
(1) 90! 的末尾有 21 個 0
(2) (5n + 1)(5n + 2)(5n + 3)(5n + 4) ≡ -1 (mod 25)
令
a = (1 * 2 * 3 * 4) * (6 * 7 * 8 * 9) * (11 * 12 * 13 * 14) * ...... * (81 * 82 * 83 * 84) * (86 * 87 * 88 * 89) = 2^21 * b
c = 5 * 10 * 15 * ...... * 85 * 90 = 5^21 * (1 * 2 * 3 * 4) * (6 * 7 * 8 * 9) * 2 * (11 * 12 * 13 * 14) * 3 * (16 * 17 * 18)
a ≡ (-1)^18 ≡ 1 (mod 25)
2^21 ≡ (2^10)^2 * 2 ≡ (-1)^2 * 2 ≡ 2 (mod 25)
b ≡ 13 (mod 25)
c / 5^21 ≡ (-1) * (-1) * 2 * (-1) * 3 * [(-9) * (-8) * (-7)] ≡ (6 * 9) * (7 * 8) ≡ 4 * 6 ≡ -1 (mod 25)
(ac) / 10^21≡ 13 * (-1) ≡ 12 (mod 25)
令 (ac) / 10^21 = 25k + 12，由於 ac 的質因數分解中，2 的次方非常大，易知 25k + 12 為 4 之倍數，即 k 為 4 之倍數
故 (ac) / 10^21≡ 12 (mod 100)
實在想不透，一個高中生的數學測驗為何要出這麼難的題目？
這題的關鍵
(1) 90! 的末尾有 21 個 0
(2) (5n + 1)(5n + 2)(5n + 3)(5n + 4) ≡ -1 (mod 25)
令
a = (1 * 2 * 3 * 4) * (6 * 7 * 8 * 9) * (11 * 12 * 13 * 14) * ...... * (81 * 82 * 83 * 84) * (86 * 87 * 88 * 89) = 2^21 * b
c = 5 * 10 * 15 * ...... * 85 * 90 = 5^21 * (1 * 2 * 3 * 4) * (6 * 7 * 8 * 9) * 2 * (11 * 12 * 13 * 14) * 3 * (16 * 17 * 18)
a ≡ (-1)^18 ≡ 1 (mod 25)
2^21 ≡ (2^10)^2 * 2 ≡ (-1)^2 * 2 ≡ 2 (mod 25)
b ≡ 13 (mod 25)
c / 5^21 ≡ (-1) * (-1) * 2 * (-1) * 3 * [(-9) * (-8) * (-7)] ≡ (6 * 9) * (7 * 8) ≡ 4 * 6 ≡ -1 (mod 25)
(ac) / 10^21≡ 13 * (-1) ≡ 12 (mod 25)
令 (ac) / 10^21 = 25k + 12，由於 ac 的質因數分解中，2 的次方非常大，易知 25k + 12 為 4 之倍數，即 k 為 4 之倍數
故 (ac) / 10^21≡ 12 (mod 100)