103 基隆國中

[thepiano]

有些題目是高中教甄的名題，像第 39 題

[funnysnoopy]

此次基隆考題感覺頗不容易，想請教幾題!

3,8,9,10,11,12,13,16與27
謝謝您

[thepiano]

先來幾題簡單的

第 3 題
直線 L 過 F(0，0)，且斜率為 √3
其方程式為 y = √3x

8(x + 2) = (√3x)^2
3x^2 - 8x - 16 = 0
x = 4 or -4/3

A 和 B 的中點 C 的橫坐標 = [4 + (-4/3)]/2 = 4/3
A 和 B 的中點 C 的縱坐標 = (4/3)√3

CF = 8/3
PF = 2CF = 16/3

第 9 題
即 x^2 + 2x = -x^2 + a 恰有二等根

第 10 題
不失一般性，令 P 在第一象限
焦點 F_1(-√5，0)，F_2(√5，0)
PF_1 + PF_2 = 2a = 6
PF_1/PF_2 = 2
PF_1 = 4，PF_2 = 2
PF_1^2 + PF_2^2 = F_1F_2^2
所求 = 2 * 4 * (1/2) = 4

第 11 題
令 ∠BAC = 2α，∠ABP = ∠BCP = β
則 ∠PBC = ∠PCA = 90 - α - β
∠PAC = α + β，∠PAB = α - β
∠APB = 180 - α，∠ADB = 180 - 2α - β

在 △APC 中
AP = 5sin(90 - α - β) = 5cos(α + β)

在 △ABP 中
AB/sin(180 - α) = AP/sinβ
1/sinα = cos(α + β)/sinβ
2sinβ = 2sinαcos(α + β) = sin(2α + β)- sinβ
sin(2α + β) = 3sinβ

在 △ABD 中
AD/sinβ = AB/sin(180 - 2α - β)
AD = 5sinβ/sin(2α + β) = 5/3
CD = 10/3

第 12 題
令 a_1 = x，a_2 = y
a_3 = y - x
a_4 = -x
a_5 = -y
a_6 = -y + x
a_7 = x
a_8 = y
六個一循環

a_100 = a_4 = -x = 2
x = -2

a_103 = a_1 = -2

第 13 題
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)[(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)]
3 - 3xyz = 27 - 9(xy + yz + zx)
xyz - 3(xy + yz + zx) = -8
xyz - 3(xy + yz + zx) + 9(x + y + z) - 27 = -8
(x - 3)(y - 3)(z - 3) = -8
(x - 3) + (y - 3) + (z - 3) = -6
(x - 3，y - 3，z - 3) = (-2，-2，-2) 或 (1，1，-8)
(x，y，z) = (1，1，1) 或 (4，4，-5)
所求為 13

第 16 題
a + b + c = 6
ab + bc + ca = 5
abc = 1

x^3 = 6x^2 - 5x + 1
x^4 = 6x^3 - 5x^2 + x
x^5 = 6x^4 - 5x^3 + x^2

a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 26

a^3 + b^3 c^3 = 6 * 26 - 5 * 6 + 3 = 129
a^4 + b^4 + c^4 = 6 * 129 - 5 * 26 + 6 = 650
a^5 + b^5 + c^5 = 6 * 650 - 5 * 129 + 26 = 3281

先去陪小朋友睡覺，難的幾題就交給高手囉 ...

[ellipse]

此次基隆考題感覺頗不容易，想請教幾題!

3,8,9,10,11,12,13,16與27
謝謝您

#27
x=(3^0.5+1+3^0.5-1)^10 / (6^0.5+2^0.5+6^0.5-2^0.5)^6
=(2*3^0.5)^10 / (2*6^0.5)^6
#8
2^0+2^1 ~ 2^13+2^14 共有14*15/2=105項
所以a_105=2^13+2^14
到推a_104=2^12+2^14
a_103=2^11+2^14=18432

[Superconan]

請教 5 , 6 , 7 , 17 , 18

[thepiano]

第 6 題
a^(3/2) = b
a^3 = b^2

c^(5/4) = d
c^5 = d^4

取
a = 5^2，b = 5^3
c = 2^4，d=2^5


第 7 題
A：1 ≦ x ≦ 3

(1)
-2 ≦ 1 - x ≦ 0
1/4 ≦ 2^(1 - x) ≦ 1
2^(1 - x) + a ≦ 0
a ≦ -1

(2)
[-2(a + 7)]^2 - 4 * 1 * 5 ≧ 0
a ≧ √5 - 7，a ≦ -√5 - 7

(3)
1^2 - 2(a + 7) + 5 ≦ 0
a ≧ -4

(4)
3^2 - 6(a + 7) + 5 ≦ 0
a ≧ -14/3

綜合 (1)、(2)、(3)、(4)
得 -4 ≦ a ≦ -1


第 17 題
(10a + b)/(10b + c) = a/c
10ac + bc = 10ab + ac
9ac = b(10a - c)
若 9|(10a - c)，則 9|(a - c)，不可能
故 b 和 9 不互質

(1) b = 3
9ac = 3(10a - c)
(3a + 1)(3c - 10) = -10
a = c = 3，不合

(2) b = 6
9ac = 6(10a - c)
(3a + 2)(3c - 20) = -40
(a，c) = (1，4)，(2，5)，(6，6)
符合的分數有 16/64 和 26/65

(3) b = 9
9ac = 9(10a - c)
(a，c) = (1，5)，(4，8)，(9，9)
符合的分數有 19/95 和 49/98


第 18 題
f(x) = (x^2 + a)/(bx - c) = x
x^2 + a = bx^2 - cx
x 用 0 和 2 代入，可得
a = 0，c = 2b - 2

f(x) = x^2/(bx - 2b + 2)
f(-2) = 4/(-4b + 2) < -1/2
4/(4b - 2) > 1/2
4b - 2 < 8
b < 5/2

b 用 0、1、2 代入 f(x) = x^2/(bx - 2b + 2) 一一檢驗
可知 b = 2 才符合題意

[Dream0205]

想請問鋼琴老師︰為什麼第9題 兩拋物線〞恰〞有一條公切線 ,為何要令兩eq相等且等根？

[thepiano]

y = x^2 + 2x，開口朝上
y = -x^2 + a，開口朝下

兩者可能交於 2 點(無公切線)或切於 1 點(1 條公切線)或無交點(2 條公切線)
故令 x^2 + 2x = -x^2 + a，可求出切點
此方程式恰有兩等根，該等根就是切點的橫坐標

[Superconan]

第 3 題
直線 L 過 F(2，0)，且斜率為 √3
其方程式為 y = √3(x - 2)

鋼琴老師，焦點好像是 F(0，0) ？

[thepiano]

焦點好像是 F(0，0) ？

對，忙中有錯，感謝指正