115 蓮潭國中小_國中部

[math_tsai]

請參考附件

[LS0722]

各位老師好，想詢問13、16、31、32、33、34、36、38、39、41、43、44、49這些題目，感謝！

[thepiano]

第 13 題
y = ax + b，不通過第二象限，表示 a > 0，b < 0
y = ax^3 + bx 的圖形應是 (A)


第 16 題
以下度省略
a = cos340 = cos(-20) = cos20 = sin70 < 1
b = sin157 = sin23 < 1
c = tan225 = tan45 = 1
d = cot220 = cot40 = cos40/sin40 < 1/sin40
e = csc503 = csc143 = 1/sin143 = 1/sin37 > 1/sin40

b < a < c < d < e


第 31 題
x^4 + 2x^3 + ax^2 + 2x + 1 = 0
同除以 x^2
x^2 + 2x + a + 2/x + 1/x^2 = 0
(x^2 + 1/x^2) + 2(x + 1/x) + a = 0
(x + 1/x)^2 + 2(x + 1/x) + (a - 2) = 0

令 t = x + 1/x ( t ≧ 2 或 t ≦ -2 )
t^2 + 2t + (a - 2) = 0
a = -t^2 - 2t + 2
a 的最大值即 -t^2 - 2t + 2 的最大值
t = -2 時，-t^2 - 2t + 2 有最大值 2


第 32 題
tanA、tanB、tanC 成等差
tanA + tanC = 2tanB

又 tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
3tanB = tanAtanBtanC
tanAtanC = 3


第 33 題
分別畫出 y = |sinx| 和 y = (2/π)|x| 的圖形，兩者都是以 y 軸為對稱軸

先考慮 x > 0 的部分
y = sinx 和 y = (2/π)x，交於 (0，0) 和 (π/2，1)
兩者圍成的面積 = 1 - (1/2) * (π/2) * 1 = 1 - π/4

再加上 x < 0 的部分
所求 = 2(1 - π/4) = 2 - π/2


第 34 題
向量 AB = (x，y，z)

在 xy 平面的投影長 = √(x^2 + y^2) = 7
x^2 + y^2 = 49
y^2 = 49 - x^2 ≦ 49

在 yz 平面的投影長 = √(y^2 + z^2) = 24
y^2 + z^2 = 576
y^2 = 576 - z^2 ≦ 576

0 ≦ y^2 ≦ 49

|向量 AB| = √(x^2 + y^2 + z^2) = √(x^2 + y^2 + y^2 + z^2 - y^2) = √(625 - y^2)
24 = √(625 - 49) ≦ √(625 - y^2) ≦ √(625 - 0) = 25

所求 = 25 + 24 = 49


第 36 題
f(x) = √3sin3x - cos3x + 2
= 2sin(3x - π/6) + 2

(A) 0 ≦ f(x) ≦ 4，正確

(B) 3x - π/6 = π/2 時，有最大值，x = (2/9)π，正確

(C) 週期 = 2π/3，錯誤

(D) 3x - π/6 = (3/2)π，有最小值，x = (5/9)π，正確


第 38 題
L_1：x = 1 + 2k，y = -1 + 3k，z = 6k
L_2：x = 1 + 2s，y = -1 - s，z = 2s
L_1 和 L_2 交於 (1，-1，0)

L_1 的單位方向向量 = (2/7，3/7，6/7)
L_2 的單位方向向量 = (2/3，-1/3，2/3)

(2/7，3/7，6/7) + (2/3，-1/3，2/3) = (20/21，2/21，32/21)
可寫成 (10，1，16)

所以 T：x = 1 + 10t，y = -1 + t，z = 16t
故 a = 10，b = 0，c = 16

a + b + c = 26


第 39 題
L：x = 0，y + z = 1 繞 z 軸旋轉一圈後，會形成雙圓錐曲面
在 yz 平面上，y + z = 1 上任一點到 z 軸的距離 = |y| = |1 - z|

圓錐曲面方程式為 x^2 + y^2 = (1 - z)^2
代入 x^2 + y^2 + z^2 = 25，可得
(1 - z)^2 + z^2 = 25
z = 4 或 -3

兩交圓中，小圓半徑 = |1 - 4| = 3，大圓半徑 = |1 - (-3)| = 4
所求 = 9：16


第 41 題
f(x) 是奇函數，對稱於原點，故 f'(-3) = f'(3) = 4
g(x) 是偶函數，對稱於 y 軸，故 g'(-3) = -g'(3) = -4


第 43 題
f(x) = 2x^3 - 6x^2 + c
f'(x) = 6x^2 - 12x = 0
x = 0 或 2

f(0) = c，f(2) = c - 8，f(-2) = c - 40
最大值 = c = 3
最小值 = c - 40 = -37


第 44 題
對角矩陣 D = PAP^(-1)
D^6 = PA^6P^(-1)
A^6 = P^(-1)D^6P

P^(-1) =
[2 -1]
[-1 1]

D^6 =
[64 0]
[0 1]

最後乘一乘就可得到 A^6


第 49 題
z^6 - z^4 + z^2 - 1 = 0
z^4(z^2 - 1) + (z^2 - 1) = 0
(z^2 - 1)(z^4 + 1) = 0

z^2 - 1 = 0，z = 1 或 -1
z^4 + 1 = 0，z = cos(π/4) + isin(π/4) 或 cos(3π/4) + isin(3π/4) 或 cos(5π/4) + isin(5π/4) 或 cos(7π/4) + isin(7π/4)

A(1，0)、B(cos(π/4)，sin(π/4))、C(cos(3π/4)，sin(3π/4))、D(-1，0)、E(cos(3π/4)，sin(3π/4))、F(cos(7π/4)，sin(7π/4))

所求 = ABCDEF = 4△AOB + 2△BOC = 4 * (1/2) * 1 * 1 * sin(π/4) + 2 * (1/2) * 1 * 1 * sin(π/2) = √2 + 1