美夢成真教甄討論區

請教這四題
謝謝

第 4 題
ax = lnx
令 f(x) = a = lnx / x
f'(x) = (1 - lnx) / x^2
x = e 時，f'(x) = 0
x ＞ e 時，f'(x) ＜ 0 且 f(x) 遞減
x ＜ e 時，f'(x) ＞ 0 且 f(x) 遞增
故 x = e 時，f(x) = a 有最大值 1/e


第 25 題
(sint + √3cost)^2 = 2 + √3sin2t + cos2t，對 t 積分後 = 2t - (√3/2)cos2t + (1/2)sin2t

t 從 0 積到 x 後 = f(x) = 2x - (√3/2)cos2x + (1/2)sin2x - [ 0 - (√3/2)cos0 + (1/2)sin0 ] = 2x - (√3/2)cos2x + (1/2)sin2x + √3/2

f(x) / x = 2 - [(√3 * cos2x) / (2x)] + [sin2x / (2x)] + [√3 / (2x)] = 2 + [sin2x / (2x)] + [(√3 * (1 - cos2x) / (2x)]

lim(x→0)[f(x) / x] = 2 + lim(x→0)[sin2x / (2x)] + lim(x→0)[(√3 * (1 - cos2x) / (2x)] = 2 + 1 - 0 = 3

註：
lim(x→0)[(√3 * (1 - cos2x) / (2x)]
= lim(x→0)[(2√3 * sin2x / 2]　　[L'Hopital's rule，分子和分母均微分]
= 0


第 35 題
△OAB 面積為 10，一半為 5
設 L 之方程式為 y = ax - 5，交 x 軸於 C(5/a，0)
直線 PB：y = 3x - 5 交 x 軸於 D(5/3，0)，△OBD 面積為 10 / 3 ＜ 5
故 L 必與 直線 AB：y = -2x + 10 相交，令其交點為 E(15/(a+2)，(10a-10)/(a+2))
[5 - (5/a)][(10a-10)/(a+2)] * 1/2 = 5
解出 a = 5/2 or 1/2 (不合)


第 42 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36698

不好意思
請問各位老師第10 11 12之(C)(D) 19 45題
謝謝

第 10 題
易知 △ABC 是正三角形
又 OA = OB = OC
設 G((a + b + c)/3，(a + b + c)/3，(a + b + c)/3) 為 △ABC 之重心
所求 = OG = (a + b + c) / √3


第 11 題
撞過球吧？
排出來的圖形，由上而下，剛好第一排 1 個，第二排 2 個，第三排 3 個，第四排 4 個，第五排 5 個
等邊三角形周長 876，邊長 292

設第五排第 1 個球球心 A，第五排第 5 個球球心 B
AB = 8r
√3r + 8r + √3r = 292
......


第 12 題
易用和角公式知
cos10x - cos12x = 2 * sin11x * sinx

-1 ≦ sinx ≦ 1
-1 ≦ sin11x ≦ 1
-1 ≦ sinx * sin11x ≦ 1

取 x = (k/2)π，k 為奇數
sinx * sin11x = -1

sinx = 1，sin11x = 1，不可能成立，原因如下：
sinx = 1，x = (1/2 + 2a)π，a 為整數
sin11x = 1，11x = (1/2 + 2b)π，b 為整數
10x = 2(b - a)π
x = [(b - a)/5]π，(b - a) 為整數
sin([(b - a)/5]π) 不可能是 1

同理 sinx = -1，sin11x = -1，亦不可能成立


第 19 題
(x - 6)(x - 2) + t(x - a) = 0
x^2 + (t - 8)x + (12 - ta) = 0
(t - 8)^2 - 4(12 - ta) ≧ 0
t^2 + (4a - 16)t + 16 ≧ 0

視為二次函數 y = x^2 + (4a - 16)x + 16 之圖形恆在 x 軸與其上方
(4a - 16)^2 - 4 * 16 ≦ 0
......


第 41 題
S_y = a * S_x
a = 12/10 = 6/5

62 = (6/5) * 52 + b
b = -2/5

非常感謝老師的解答
我想再請問老師
第11題的詳解中
√3r + 8r + √3r = 292
這兩個√3r 是怎麼來的
代表什麼意思

另外
可否請老師再詳細的解釋一下第45題的解題過程
謝謝

第 11 題


AB = DE = 8r
CD = EF = (√3)r


第 41 題
將一群資料 a 倍後，再平移 b，則新標準差為原標準差之 a 倍
S_y = S_(ax + b) = a * S_x

老師您講的第45題其實是考卷的第41題
第45題的題目是
45. 設多項式f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 ，則 f(x^12)除以 f(x)所得到的餘式為何？
(A) 6
(B) 5-x
(C) 4-x+x^2
(D) 3-x+x^2-x^3
煩請老師解答
謝謝

Sorry，看來小弟有老花眼了

第 45 題
f(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
f(x)｜(x^6 - 1)
f(x)∣(x^12 - 1)
x^12 ≡ 1 ( mod f(x) )，此行表示 x^12 除以 f(x) 的餘式為 1
f(x^12) = (x^12)^5 + (x^12)^4 + (x^12)^3 + (x^12)^2 + x^12 + 1
(x^12)^5，(x^12)^4，(x^12)^3，(x^12)^2，x^12，1 以上六者除以 f(x) 的餘式都是 1
f(x^12) ≡ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≡ 6 ( mod f(x) )

不好意思
請問有好心人可以上傳
94和96年台南縣國中聯合答案嗎?
感謝

請參考附件