112 臺中市國中
版主: thepiano
Re: 112 臺中市國中
想請教 5. 11. 12. 13. 15. 26. 27. 32. 33. 38. 39. 40 謝謝 問題很多，好像大多都是大學的東西
另外請教25. 我算出來f(x)=-4(cosx)^2+8 最小值a=4 最大值b=8 2b-a=12 這樣算是否有誤呢？
另外請教25. 我算出來f(x)=-4(cosx)^2+8 最小值a=4 最大值b=8 2b-a=12 這樣算是否有誤呢？
Re: 112 臺中市國中
第 5 題
一個群，其子群的階數是其階數的因數
第 11 題
(x - 1)^2 = 2x + 6
x = -1 or 5
兩圖形交點 (-1，-2)、(5，4)
x = y + 1
x = y^2/2 - 3
畫出圖形
所求 = ∫[(y + 1) - (y^2/2 - 3)]dy (從 -2 積到 4)
第 12 題
這算三題積分，不太好算，考這題沒意思
∫e^(√x)dx = 2e^(√x) * (√x - 1) + C
∫xe^xdx = x * e^x - e^x + C
∫[e^(sinx) * sin(2x)]dx = 2e^(sinx) * (sinx - 1) + C
圖一和圖三的面積都是 2，圖二的面積是 1
第 13 題
令 f(x，y，z) = cos(xyz) - x^2y^2 - z
對 x 微分可得 -yzsin(xyz) - 2xy^2
對 y 微分可得 -xzsin(xyz) - 2x^2y
對 z 微分可得 -xysin(xyz) - 1
(1，-1，0) 帶入可得 (-2，2，-1)
所求為 -2(x - 1) + 2(y + 1) - z = 0
第 15 題
令 y = (1 + x)/(1 - x)
x = (y - 1)/(y + 1)
f(y) = (y - 1)/(y + 1)
......
第 25 題
cos(2x) 有平方，您漏看了
第 26 題
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid25307
第 27 題
0 ≦ y ≦ √(2x - x^2)
(x - 1)^2 + y^2 ≦ 1
圖形是以 (1，0) 為圓心，半徑 1 的上半圓
所求 = 9∫∫√(x^2 + y^2)dydx (y 從 0 積到 √(2x - x^2，x 從 0 積到 2)
= 9∫∫r^2drdθ (r 從 0 積到 2cosθ，θ 從 0 積到 π/2)
......
第 32 題
lim[xsin(1/x)] (x → ∞)
= lim[sin(1/x) / (1/x)] (1/x → 0)
= 1
原式 = lim[√(x^2 - x) - x] (x → ∞)
= lim{[√(x^2 - x) - x][√(x^2 - x) + x] / [√(x^2 - x) + x]} (x → ∞)
= lim{-x / [√(x^2 - x) + x]} (x → ∞)
......
第 38 題
x^3 + 6x^2 + 2x + 2 = y^3 - y
(x + 1)(x + 2)(x + 3) - (9x + 4) = (y - 1)y(y + 1)
(x + 1)(x + 2)(x + 3) 和 (y - 1)y(y + 1) 都是 3 的倍數，但 9x + 4 不是
故無解
第 39 題
2n^2 * {[1/n - 1/(n + 1)] + [1/n - 1/(n + 2)] + [1/n - 1/(n + 3)] + ... + [1/n - 1/(n + r)]}
= 2n^2 * {1 / [n(n + 1)] + 2 / [n(n + 2)] + 3 / [n(n + 3)] + ... + r / [n(n + r)]}
= 2n^2 / [n(n + 1)] + 4n^2 / [n(n + 2)] + 6n^2 / [n(n + 3)] + ... + 2rn^2 / [n(n + r)]
當 n → ∞
原式 = 2 + 4 + 6 + ... + 2r
第 40 題
c > b > a
b / a = |b^2 + c^2 - a^2| / (bc) = (b^2 + c^2 - a^2) / (bc) = 2bccosA / (bc) = 2cosA
b / a = sinB / sinA
sinB / sinA = 2cosA
sinB = sin(2A)
∠B = 2∠A
c / b = |c^2 + a^2 - b^2| / (ca)
sinC = sin(2B)
∠C = 2∠B = 4∠A
∠A + ∠B + ∠C = π
∠A + 2∠A + 4∠A = π
∠A = π/7
一個群，其子群的階數是其階數的因數
第 11 題
(x - 1)^2 = 2x + 6
x = -1 or 5
兩圖形交點 (-1，-2)、(5，4)
x = y + 1
x = y^2/2 - 3
畫出圖形
所求 = ∫[(y + 1) - (y^2/2 - 3)]dy (從 -2 積到 4)
第 12 題
這算三題積分，不太好算，考這題沒意思
∫e^(√x)dx = 2e^(√x) * (√x - 1) + C
∫xe^xdx = x * e^x - e^x + C
∫[e^(sinx) * sin(2x)]dx = 2e^(sinx) * (sinx - 1) + C
圖一和圖三的面積都是 2，圖二的面積是 1
第 13 題
令 f(x，y，z) = cos(xyz) - x^2y^2 - z
對 x 微分可得 -yzsin(xyz) - 2xy^2
對 y 微分可得 -xzsin(xyz) - 2x^2y
對 z 微分可得 -xysin(xyz) - 1
(1，-1，0) 帶入可得 (-2，2，-1)
所求為 -2(x - 1) + 2(y + 1) - z = 0
第 15 題
令 y = (1 + x)/(1 - x)
x = (y - 1)/(y + 1)
f(y) = (y - 1)/(y + 1)
......
第 25 題
cos(2x) 有平方，您漏看了
第 26 題
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid25307
第 27 題
0 ≦ y ≦ √(2x - x^2)
(x - 1)^2 + y^2 ≦ 1
圖形是以 (1，0) 為圓心，半徑 1 的上半圓
所求 = 9∫∫√(x^2 + y^2)dydx (y 從 0 積到 √(2x - x^2，x 從 0 積到 2)
= 9∫∫r^2drdθ (r 從 0 積到 2cosθ，θ 從 0 積到 π/2)
......
第 32 題
lim[xsin(1/x)] (x → ∞)
= lim[sin(1/x) / (1/x)] (1/x → 0)
= 1
原式 = lim[√(x^2 - x) - x] (x → ∞)
= lim{[√(x^2 - x) - x][√(x^2 - x) + x] / [√(x^2 - x) + x]} (x → ∞)
= lim{-x / [√(x^2 - x) + x]} (x → ∞)
......
第 38 題
x^3 + 6x^2 + 2x + 2 = y^3 - y
(x + 1)(x + 2)(x + 3) - (9x + 4) = (y - 1)y(y + 1)
(x + 1)(x + 2)(x + 3) 和 (y - 1)y(y + 1) 都是 3 的倍數，但 9x + 4 不是
故無解
第 39 題
2n^2 * {[1/n - 1/(n + 1)] + [1/n - 1/(n + 2)] + [1/n - 1/(n + 3)] + ... + [1/n - 1/(n + r)]}
= 2n^2 * {1 / [n(n + 1)] + 2 / [n(n + 2)] + 3 / [n(n + 3)] + ... + r / [n(n + r)]}
= 2n^2 / [n(n + 1)] + 4n^2 / [n(n + 2)] + 6n^2 / [n(n + 3)] + ... + 2rn^2 / [n(n + r)]
當 n → ∞
原式 = 2 + 4 + 6 + ... + 2r
第 40 題
c > b > a
b / a = |b^2 + c^2 - a^2| / (bc) = (b^2 + c^2 - a^2) / (bc) = 2bccosA / (bc) = 2cosA
b / a = sinB / sinA
sinB / sinA = 2cosA
sinB = sin(2A)
∠B = 2∠A
c / b = |c^2 + a^2 - b^2| / (ca)
sinC = sin(2B)
∠C = 2∠B = 4∠A
∠A + ∠B + ∠C = π
∠A + 2∠A + 4∠A = π
∠A = π/7
Re: 112 臺中市國中
第 37 題
A =
[ 4 4]
[ -1 -1]
A^2 =
[ 12 12]
[ -3 -3]
A^3 =
[ 36 36]
[ -9 -9]
剩下就是求等比級數的和
A =
[ 4 4]
[ -1 -1]
A^2 =
[ 12 12]
[ -3 -3]
A^3 =
[ 36 36]
[ -9 -9]
剩下就是求等比級數的和
Re: 112 臺中市國中
想請問7.16. 21. 22. 23. 24題.謝謝
21題我的想法是圓的判別式要>0.可是這樣算不出來
21題我的想法是圓的判別式要>0.可是這樣算不出來
Re: 112 臺中市國中
第 7 題
選擇題最快的做法就是找到第一個平方後，十位數字是 5 的數
可令 a = 16
a^2 = 256
第 16 題
對所有的實數 x， f'(x) ≧ 6，可知 f(x) 是一次函數
令 f(x) = ax + b
f(1) = a + b = 12
f'(x) = a ≧ 6
f(4) = 4a + b = 3a + a + b = 3a + 12 ≧ 30
第 21 題
x^2 + y^2 - 2kx - 2ky + k^2 + 4k - 2a = 0
(x - k)^2 + (y - k)^2 = k^2 - 4k + 2a 恆為一圓
y = k^2 - 4k + 2a > 0
判別式要 < 0
第 22 題
第 6 ~ 9 次共進 24 + 14 + 12 + 22 = 72 球
設前 9 次平均進 x 球，前 5 次平均 = (9x - 72) / 5
x > (9x - 72) / 5
x < 18
9x < 162
設第 10 次進 y 球，其中 y 是正整數
(9x + y) / 10 > 18
9x + y > 180
當 9x = 161 時，y 有最小值 20
第 23 題
事件 A 和事件 B 都沒發生的機率 = 4^3 / 6^3 = 8/27
所求 = 1 - 8/27 = 19/27
第 24 題
設 AC 交 BD 於 G
△ACE 被 BD 所截
由孟式定理，(AF/FE)(EB/BC)(CG/GA) = 1
可得 CG = GA
BE = CE
△ABF = △ACF = 2△AGF
BF = 2GF
又 BF = DF
BG = 3DG
△ABC = 3△ACD
選擇題最快的做法就是找到第一個平方後，十位數字是 5 的數
可令 a = 16
a^2 = 256
第 16 題
對所有的實數 x， f'(x) ≧ 6，可知 f(x) 是一次函數
令 f(x) = ax + b
f(1) = a + b = 12
f'(x) = a ≧ 6
f(4) = 4a + b = 3a + a + b = 3a + 12 ≧ 30
第 21 題
x^2 + y^2 - 2kx - 2ky + k^2 + 4k - 2a = 0
(x - k)^2 + (y - k)^2 = k^2 - 4k + 2a 恆為一圓
y = k^2 - 4k + 2a > 0
判別式要 < 0
第 22 題
第 6 ~ 9 次共進 24 + 14 + 12 + 22 = 72 球
設前 9 次平均進 x 球，前 5 次平均 = (9x - 72) / 5
x > (9x - 72) / 5
x < 18
9x < 162
設第 10 次進 y 球，其中 y 是正整數
(9x + y) / 10 > 18
9x + y > 180
當 9x = 161 時，y 有最小值 20
第 23 題
事件 A 和事件 B 都沒發生的機率 = 4^3 / 6^3 = 8/27
所求 = 1 - 8/27 = 19/27
第 24 題
設 AC 交 BD 於 G
△ACE 被 BD 所截
由孟式定理，(AF/FE)(EB/BC)(CG/GA) = 1
可得 CG = GA
BE = CE
△ABF = △ACF = 2△AGF
BF = 2GF
又 BF = DF
BG = 3DG
△ABC = 3△ACD