第 5 題
一個群，其子群的階數是其階數的因數
第 11 題
(x - 1)^2 = 2x + 6
x = -1 or 5
兩圖形交點 (-1，-2)、(5，4)
x = y + 1
x = y^2/2 - 3
畫出圖形
所求 = ∫[(y + 1) - (y^2/2 - 3)]dy (從 -2 積到 4)
第 12 題
這算三題積分，不太好算，考這題沒意思
∫e^(√x)dx = 2e^(√x) * (√x - 1) + C
∫xe^xdx = x * e^x - e^x + C
∫[e^(sinx) * sin(2x)]dx = 2e^(sinx) * (sinx - 1) + C
圖一和圖三的面積都是 2，圖二的面積是 1
第 13 題
令 f(x，y，z) = cos(xyz) - x^2y^2 - z
對 x 微分可得 -yzsin(xyz) - 2xy^2
對 y 微分可得 -xzsin(xyz) - 2x^2y
對 z 微分可得 -xysin(xyz) - 1
(1，-1，0) 帶入可得 (-2，2，-1)
所求為 -2(x - 1) + 2(y + 1) - z = 0
第 15 題
令 y = (1 + x)/(1 - x)
x = (y - 1)/(y + 1)
f(y) = (y - 1)/(y + 1)
......
第 25 題
cos(2x) 有平方，您漏看了
第 26 題
參考
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid25307
第 27 題
0 ≦ y ≦ √(2x - x^2)
(x - 1)^2 + y^2 ≦ 1
圖形是以 (1，0) 為圓心，半徑 1 的上半圓
所求 = 9∫∫√(x^2 + y^2)dydx (y 從 0 積到 √(2x - x^2，x 從 0 積到 2)
= 9∫∫r^2drdθ (r 從 0 積到 2cosθ，θ 從 0 積到 π/2)
......
第 32 題
lim[xsin(1/x)] (x → ∞)
= lim[sin(1/x) / (1/x)] (1/x → 0)
= 1
原式 = lim[√(x^2 - x) - x] (x → ∞)
= lim{[√(x^2 - x) - x][√(x^2 - x) + x] / [√(x^2 - x) + x]} (x → ∞)
= lim{-x / [√(x^2 - x) + x]} (x → ∞)
......
第 38 題
x^3 + 6x^2 + 2x + 2 = y^3 - y
(x + 1)(x + 2)(x + 3) - (9x + 4) = (y - 1)y(y + 1)
(x + 1)(x + 2)(x + 3) 和 (y - 1)y(y + 1) 都是 3 的倍數，但 9x + 4 不是
故無解
第 39 題
2n^2 * {[1/n - 1/(n + 1)] + [1/n - 1/(n + 2)] + [1/n - 1/(n + 3)] + ... + [1/n - 1/(n + r)]}
= 2n^2 * {1 / [n(n + 1)] + 2 / [n(n + 2)] + 3 / [n(n + 3)] + ... + r / [n(n + r)]}
= 2n^2 / [n(n + 1)] + 4n^2 / [n(n + 2)] + 6n^2 / [n(n + 3)] + ... + 2rn^2 / [n(n + r)]
當 n → ∞
原式 = 2 + 4 + 6 + ... + 2r
第 40 題
c > b > a
b / a = |b^2 + c^2 - a^2| / (bc) = (b^2 + c^2 - a^2) / (bc) = 2bccosA / (bc) = 2cosA
b / a = sinB / sinA
sinB / sinA = 2cosA
sinB = sin(2A)
∠B = 2∠A
c / b = |c^2 + a^2 - b^2| / (ca)
sinC = sin(2B)
∠C = 2∠B = 4∠A
∠A + ∠B + ∠C = π
∠A + 2∠A + 4∠A = π
∠A = π/7