美夢成真教甄討論區

請問老師93南縣 Q2 Q5 Q7 Q14 Q19

還想問一題Q38
老師之前解出來的附件我好像打不開
所以要在麻煩老師

謝謝老師!

第 2 題
f'(x) = [(x^2 - 2x + 2)(4x^3 - 12x^2 + 8) - (x^4 - 4x^3 + 8x - 3)(2x - 2)] / (x^2 - 2x + 2)^2
(x^2 - 2x + 2)(4x^3 - 12x^2 + 8) - (x^4 - 4x^3 + 8x - 3)(2x - 2) = 0 時，f(x) 有極值
2(x - 1)(x^2 - 2x - 1)(x^2 - 2x + 5) = 0
x = 1，f(x) = 2 為極大值
x = 1 ± √2，f(x) = -2 為極小值


第 5 題
舊論壇星夜姐姐的解法

假設 A(0，0)，O(0，-300)
往北三十度西做 OB 射線
過 A 點做射線平行 OB 交圓 O 於兩點 (此為颱風通過距離)
過 A 點的方程式為 y = -√3x
利用距離公式求過 O 與 A 射線垂直的距離 = |-300| / (3 + 1)^1/2 = 150
颱風路徑 = 2 * (250^2 - 150^2) = 400
400 / 25 = 16


第 7 題
平面 x - 2y - 2z - 7 = 0 之法向量為 (1，-2，-2)
球 x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 之圓心為 O(-a/2，-b/2，-c/2)
向量 AO = (-3 - a/2，1 - b/2，1 - c/2) 必與向量 (1，-2，-2) 平行
令 -3 - a/2 = k，1 - b/2 = -2k，1 - c/2 = -2k
b = c
A(3，-1，-1) 在球上，3a - b - c + d = -11 → 3a - 2b + d = -11
B(1，-3，1) 在球上，a - 3b + c + d = -11 → a - 2b + d = -11
故 a = 0，k = -3，b = c = -10，d = -31


第 14 題
令 x = y - 2
(y - 2)^4 - 3(y - 2)^2 + (y - 2) + 5 = 0
y^4 - 8y^3 + 21y^2 - 19y + 7 = 0
m = -8，n = 21，p = -19，q = 7


第 19 題
特性方程式 t^2 + 4 = 0 之二根為 ±2i
故一般解為 y = c_1 * cos2x + c_2 * sin2x


第 38 題
舊論壇星夜姐姐的解法

為容易分辨，我把女生改為甲乙丙丁
題目有 5 男 4 女，所以必有 1 男落單
依題意如下：
(女 → 可選)
甲 → ABE
乙 → BCD
丙 → ADE
丁 → ABCD
用列舉法…
若 A 落單，則可配 BCED、BDEC、EBDC、ECDB (按甲乙丙丁順序)
若 B 落單，則可配 ACED、ADEC、ECAD、ECDA、EDAC
若 C 落單，則可配 ABED、ADEB、BDEA、EBAD、EBDA、EDAB
若 D 落單，則可配 ABEC、ACEB、BCEA、EBAC、ECAB
若 E 落單，則可配 ABDC、ACDB、BCAD、BCDA、BDAC
共 25 種