103恆春工商一題

[iammark]

請教高手。謝謝。
若 a>0 且b>0, 求 a^2/(b-2) + b^2/(a-2)的最小值。

[iammark]

加官方公佈的選擇題試題。

[thepiano]

應是 a ＞ 2，b ＞ 2

若是填充題，可猜測最小值出現在 a = b 時
原式化為 2a^2/(a - 2)
易知 a = b = 4 時，有最小值 16

那若是計算題呢？
猜到最小值是 16 後
就證明 a^2/(b - 2) + b^2/(a - 2) ≧ 16
a^2(a - 2) + b^2(b - 2) ≧ 16(a -2)(b - 2)
a^3 - 2a^2 + b^3 - 2b^2 - 16ab + 32a + 32b - 64 ≧ 0
(a^3 - 10a^2 + 32a - 32) + (b^3 - 10b^2 + 32b - 32) + 8(a - b)^2 ≧ 0
(a - 4)^2(a - 2) + (b - 4)^2(b - 2) + 8(a - b)^2 ≧ 0
等號成立於 a = b = 4

[ellipse]

請教高手。謝謝。
若 a>0 且b>0, 求 a^2/(b-2) + b^2/(a-2)的最小值。

另解: 利用科西不等式+算幾不等式
令A=a-2 ,B=b-2 ,S=a^2/(b-2) + b^2/(a-2)
則S=(A+2)^2 /B +(B+2)^2 /A
由柯西不等式知
[(A+2)^2 /B +(B+2)^2 /A]*(B+A) >=( A+2 +B+2)^2
S>=(A+B+4)^2 /(A+B) = (A+B) + 8 + 16 /(A+B)
>=8 +2*[ (A+B)*16/(A+B) ]^0.5 (算幾不等式)
=8+8=16
最小值=16