[對數不等式][謝謝 thepiano 老師]

[LATEX]

請問對數不等式

[thepiano]

以下 log 均以 a 為底數

(logx)^2 + (logy)^2 = log(a/x^2) + log(a/y^2) = 1 - 2logx + 1 - 2logy
(logx + 1)^2 + (logy + 1)^2 = 2^2

令 logx = p，logy = q
則 (p + 1)^2 + (q + 1)^2 = 2^2

當 a ＞ 1，x ≧ 1，y ≧ 1，則 p ≧ 0，q ≧ 0
當 0 ＜ a ＜ 1，x ≧ 1，y ≧ 1，則 p ≦ 0，q ≦ 0

令 log(xy) = p + q = k

在 p-q 平面上
若圓 (p + 1)^2 + (q + 1)^2 = 2^2 與直線 p + q = k 相切，則 k = -2 + 2√2 or -2 - 2√2
圓 (p + 1)^2 + (q + 1)^2 = 2^2 與兩軸交於 A(-1 + √3，0)，B(0，-1 + √3)，C(-1 - √3，0)，D(0，-1 - √3)
直線 AB 之方程式為 p + q = -1 + √3，直線 CD 之方程式為 p + q = -1 - √3

故所求為 -1 + √3 ≦ log(xy) ≦ -2 + 2√2 or -2 - 2√2 ≦ log(xy) ≦ -1 - √3