x1,....x12 是方程式 x^12+3x^11+1=0 的12個根,
(x1^4+x1^2+1)(x2^4+x2^2+1).....(x12^4+x12^2+1)=?
[代數]
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Re: [代數]
x^12 + 3x^11 + 1 = (x - x_1)(x - x_2)...(x - x_12)
x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = (x - ω)(x - ω^2)(x + ω)(x + ω^2) = (ω - x)(ω^2 - x)(-ω - x)(-ω^2 - x)
所求 = [ω^12 + 3ω^11 + 1][(ω^2)^12 + 3(ω^2)^11 + 1][(-ω)^12 + 3(-ω)^11 + 1][(-ω^2)^12 + 3(-ω^2)^11 + 1]
x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = (x - ω)(x - ω^2)(x + ω)(x + ω^2) = (ω - x)(ω^2 - x)(-ω - x)(-ω^2 - x)
所求 = [ω^12 + 3ω^11 + 1][(ω^2)^12 + 3(ω^2)^11 + 1][(-ω)^12 + 3(-ω)^11 + 1][(-ω^2)^12 + 3(-ω^2)^11 + 1]