106 中壢高中
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106 中壢高中
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Re: 106 中壢高中
計算第 3 題
x = a + 1，y = b + 1，z = c + 1
則 a + b + c = 0
(a + 1)^3 + (b + 1)^3 + (c + 1)^3 = 3
a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2 + b^2 + c^2) = 0
(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc + 3(a^2 + b^2 + c^2) = 0
a^2 + b^2 + c^2 = - abc
abc ＜ 0，又 a + b + c = 0
不失一般性，設 a ＞ b ＞ 0 ＞ c
(a + b)^2 - 2ab + [-(a + b)]^2 = ab(a + b)
令 m = a + b，n = ab
2m^2 - 2n = mn
n = 2m^2 / (m + 2) = (2m - 4) + 8/(m + 2)
m + 2 = 4 or 8
m = 2 or 6，n = 2 or 9
a = b = 3
x = y = 4，z = -5
x^2 + y^2 + z^2 = 57
x = a + 1，y = b + 1，z = c + 1
則 a + b + c = 0
(a + 1)^3 + (b + 1)^3 + (c + 1)^3 = 3
a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2 + b^2 + c^2) = 0
(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc + 3(a^2 + b^2 + c^2) = 0
a^2 + b^2 + c^2 = - abc
abc ＜ 0，又 a + b + c = 0
不失一般性，設 a ＞ b ＞ 0 ＞ c
(a + b)^2 - 2ab + [-(a + b)]^2 = ab(a + b)
令 m = a + b，n = ab
2m^2 - 2n = mn
n = 2m^2 / (m + 2) = (2m - 4) + 8/(m + 2)
m + 2 = 4 or 8
m = 2 or 6，n = 2 or 9
a = b = 3
x = y = 4，z = -5
x^2 + y^2 + z^2 = 57
Re: 106 中壢高中
填充第 10 題
設烏龜
從 A_1 爬到 A_6，所需時間之期望值為 x，則從 A_4 爬到 A_6，所需時間之期望值亦為 x
從 A_3 爬到 A_6，所需時間之期望值為 y，則從 A_5 爬到 A_6，所需時間之期望值亦為 y
從 A_2 爬到 A_6，所需時間之期望值為 z
y = (x + 1)/4 + (z + 1)/4 + (y + 1)/4 + 1/4
z = (x + 1)/2 + (y + 1)/2
x = (y + 1)/2 + (z + 1)/2
解出 x = 10
設烏龜
從 A_1 爬到 A_6，所需時間之期望值為 x，則從 A_4 爬到 A_6，所需時間之期望值亦為 x
從 A_3 爬到 A_6，所需時間之期望值為 y，則從 A_5 爬到 A_6，所需時間之期望值亦為 y
從 A_2 爬到 A_6，所需時間之期望值為 z
y = (x + 1)/4 + (z + 1)/4 + (y + 1)/4 + 1/4
z = (x + 1)/2 + (y + 1)/2
x = (y + 1)/2 + (z + 1)/2
解出 x = 10
Re: 106 中壢高中
第 8 題
(√3/2)x^2 + (1/√3)y^2 ≧ √2xy
[1/(2√3)]y^2 + (√3/2)z^2 ≧ yz
(√3/2)(x^2 + y^2 + z^2) ≧ √2xy + yz
√3/2 ≧ √2xy + yz
第 9 題
以△ABC之三中線為三邊的三角形面積 = (3/4)△ABC
以△ABC之三中線的(4/3)倍為三邊的三角形面積 = (4/3)△ABC = 4√15
設△ABC之三中線為 3x、3、6，其 (4/3) 倍為 4x、4、8
(1/2) * 4 * 8 * sinθ = 4√15
sinθ = √15/4
cosθ = 1/4 or -1/4
(4x)^2 = 4^2 + 8^2 - 2 * 4 * 8 * (1/4) or 4^2 + 8^2 - 2 * 4 * 8 * (-1/4)
x = 2 or √6
3x = 6 or 3√6
所求為 3√6
第 11 題
(√2 + √3)^2016 = (5 + 2√6)^1008
令 x = 5 + 2√6，y = 5 - 2√6
x + y = 10，xy = 1
x^2 + y^2 = 98
x^(n+2) + y^(n+2) = [x^(n+1) + y^(n+1)](x + y) - xy(x^n + y^n) = 10[x^(n+1) + y^(n+1)] - (x^n + y^n) ≡ - (x^n + y^n) (mod 10)
x + y ≡ 0 (mod 10)
x^2 + y^2 ≡ 8 (mod 10)
x^3 + y^3 ≡ -(x + y) ≡ 0 (mod 10)
x^4 + y^4 ≡ -(x^2 + y^2) ≡ 2 (mod 10)
:
:
x^1008 + y^1008 ≡ 2 (mod 10)
又 (5 - 2√6)^1008 是一個非常小的數字
故所求為 (1，9)
第 12 題
構造一個長方形 ABCD，內部一點 P
AB = CD = √2 + 1，AD = BC = √6 + √3
PA = √3x、PB = y、PC = z、PD = w
∠APB = 30 度、∠BPC = 60 度、∠CPD = 150 度、∠DPA = 120 度
由於 ∠APB + ∠BPC = 90 度，視為 P 退化到 D 點
√3xz + yw = PA * PC + PB * PD = DA * DC = ABCD = 3√3 + 2√6
(√3/2)x^2 + (1/√3)y^2 ≧ √2xy
[1/(2√3)]y^2 + (√3/2)z^2 ≧ yz
(√3/2)(x^2 + y^2 + z^2) ≧ √2xy + yz
√3/2 ≧ √2xy + yz
第 9 題
以△ABC之三中線為三邊的三角形面積 = (3/4)△ABC
以△ABC之三中線的(4/3)倍為三邊的三角形面積 = (4/3)△ABC = 4√15
設△ABC之三中線為 3x、3、6，其 (4/3) 倍為 4x、4、8
(1/2) * 4 * 8 * sinθ = 4√15
sinθ = √15/4
cosθ = 1/4 or -1/4
(4x)^2 = 4^2 + 8^2 - 2 * 4 * 8 * (1/4) or 4^2 + 8^2 - 2 * 4 * 8 * (-1/4)
x = 2 or √6
3x = 6 or 3√6
所求為 3√6
第 11 題
(√2 + √3)^2016 = (5 + 2√6)^1008
令 x = 5 + 2√6，y = 5 - 2√6
x + y = 10，xy = 1
x^2 + y^2 = 98
x^(n+2) + y^(n+2) = [x^(n+1) + y^(n+1)](x + y) - xy(x^n + y^n) = 10[x^(n+1) + y^(n+1)] - (x^n + y^n) ≡ - (x^n + y^n) (mod 10)
x + y ≡ 0 (mod 10)
x^2 + y^2 ≡ 8 (mod 10)
x^3 + y^3 ≡ -(x + y) ≡ 0 (mod 10)
x^4 + y^4 ≡ -(x^2 + y^2) ≡ 2 (mod 10)
:
:
x^1008 + y^1008 ≡ 2 (mod 10)
又 (5 - 2√6)^1008 是一個非常小的數字
故所求為 (1，9)
第 12 題
構造一個長方形 ABCD，內部一點 P
AB = CD = √2 + 1，AD = BC = √6 + √3
PA = √3x、PB = y、PC = z、PD = w
∠APB = 30 度、∠BPC = 60 度、∠CPD = 150 度、∠DPA = 120 度
由於 ∠APB + ∠BPC = 90 度，視為 P 退化到 D 點
√3xz + yw = PA * PC + PB * PD = DA * DC = ABCD = 3√3 + 2√6
