113 北一女中

[thepiano]

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[thepiano]

第 7 題
分段計算矩形面積
(1) 0 ≦ x ＜ 1，f(x) = 0，面積 0
(2) 1 ≦ x ＜ 2，f(x) = [x]，面積 1
(3) 2 ≦ x ＜ 3，f(x) = [2x]，面積 (4 + 5)/2
(4) 3 ≦ x ＜ 4，f(x) = [3x]，面積 (9 + 10 + 11)/3
:
:
(10) 9 ≦ x ＜ 10，f(x) = [9x]，面積 (81 + 82 + ... + 89)/9

把平均值相加，可得答案 303

[tl721]

想請問一下第八題,謝謝老師~

[thepiano]

第 8 題
(x + √3 + ki)^5 = 32i = 2^5[cos(1/2 + 2n)π + isin(1/2 + 2n)π] (n = 0 ~ 4)
x + √3 + ki = 2[cos(1/10 + 2n/5)π + isin(1/10 + 2n/5)π]

x = -√3 - ki + 2[cos(1/10)π + isin(1/10)π]
or -√3 - ki + 2[cos(5/10)π + isin(5/10)π]
or -√3 - ki + 2[cos(9/10)π + isin(9/10)π]
or -√3 - ki + 2[cos(13/10)π + isin(13/10)π]
or -√3 - ki + 2[cos(17/10)π + isin(17/10)π]

sin(1/10)π = sin(9/10)，sin(13/10)π = sin(17/10)π
x 有兩相異實根，故 k = 2sin(1/10)π or 2sin(13/10)π

2[sin(1/10)π + sin(5/10)π + sin(9/10)π + sin(13/10)π + sin(17/10)π] = 0
2[2sin(1/10)π + 1 + 2sin(13/10)π] = 0
所求 = 2sin(1/10)π + 2sin(13/10)π = -1

[tl721]

謝謝回覆,x + √3 + ki那5個複數解我是知道的,但這樣x不是應該要有4個相異實根?因cos(9/10)π=-cos(1/10)π&cos(13/10)π=-cos(17/10)π=-cos(3/10)π,還是我理解有錯誤?

[thepiano]

k = 2sin(1/10)π 時

兩個相異實根是
x = -√3 + 2cos(1/10)π
和 -√3 + 2cos(9/10)π

而以下兩者是複數根
-√3 - ki + 2[cos(13/10)π + isin(13/10)π]
-√3 - ki + 2[cos(17/10)π + isin(17/10)π]