113 鳳新高中

[thepiano]

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第 8 題
5x^3 - 5(k + 1)x^2 + (71k - 1)x + (1 - 66k) = 0
(x - 1)[5x^2 - 5kx + (66k - 1)] = 0

令 a、b 為 5x^2 - 5kx + (66k - 1) = 0 的兩自然數根
a + b = k
ab = (66k - 1)/5 = (66a + 66b - 1)/5
b = (66a - 1)/(5a - 66)

若 a 為偶數，66a - 1 為奇數，而 5a - 66 為偶數，不合
故 a 為奇數

又 66a - 1 ＞ 0，5a - 66 ＞ 0，a ≧ 15
a = 17 時，b = 59
k = a + b = 76

[v20160801]

請問1,6

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第 1 題
以下向量符號省略
OI = (7/16)OA + (6/16)OB + (3/16)OC

OI˙BC = (7/16)OA˙BC + (6/16)OB˙BC + (3/16)OC˙BC
= (7/16)(1/2)(|AB|^2 - |AC|^2) + (6/16)(-1/2)|BC|^2 + (3/16)(1/2)(1/2)|BC|^2
......


第 6 題
n = 10，p = 0.1
E(X^3) = n(n - 1)(n - 2)p^3 + 3n(n - 1)p^2 + np

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第 5 題
設內切圓和 AB 切於 P，易知 AP = 1/2，IP = √3 / 2，AI = 1
設 AI 和 BC 交於 E，易求出 AE = 15/8，BE = 21/8，CE = 35/8
利用圓幂定理可求出 DE = 49/8
AD = AE + DE = 8，ID = AD - AI = 7

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第 9 題
y = x^2 + a，y = x，y^2 = x - a 會相切於同一點 (1/2，1/2)
可求出 a = 1/4

所求為 y = x^2 + 1/4，y = x，y 軸三者所圍成的面積 * 8

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第 3 題
先挑 1 個盒子放 2 球，其餘都放 1 球，有 5 種方法

假設 1 號盒放 2 球，分成以下兩種情況
(1) 2 球是 2 ~ 5 號中的其中 2 球，有 C(4，2) = 6 種方法
假設是 2、3 號球，剩 1、4、5、6 號球放入 2、3、4、5 號盒中，有 4! - 3! * 2 + 2! = 14 種方法
(2) 2 球中有 1 球是 6 號球，另 1 球是 2 ~ 5 號中的其中 1 球，有 C(4，1) = 4 種方法
假設是 2、6 號球，剩 1、3、4、5 號球放入 2、3、4、5 號盒中，有 4! - 3! * 3 + 2! * 3 - 1 = 11 種方法

所求 = 5 * (6 * 14 + 4 * 11) = 640