98嘉義高中

[happier]

請教以下兩個題目：
1.已知三角形ABC中最大角A為最小角B的2倍，且三邊為連續自然數，求三角形三邊長。(利用托勒密定理)
2.m為實數，已知四次方程式3x^4-4mx^3+1=0無實根，求m的範圍。
謝謝。

[thepiano]

第 1 題
在 △ABC 之外接圓上取一點 D，使得 CD = CA
∠CAB = ∠ABD
弧 CA = 弧 BD
設 CD = CA = BD = x
則 AB = x + 1，BC = x + 2
又 △ACD 和 △BDC 全等，AD = BC = x + 2
再用托勒密定理 ......


第 2 題
令 f(x) = 3x^4 - 4mx^3 + 1
f'(x) = 12x^3 - 12mx^2 = 12x^2(x - m) = 0
x = 0 or m
(1) f(0) ＞ 0
(2) x ＜ m，f'(x) ＜ 0；x ＞ m，f'(x) ＞ 0
故 f(m) 是最小值

由於 f(x) = 0 無實根，f(x) 之圖形恆在 x 軸上方
故 f(m) = -m^4 + 1 ＞ 0
......

[f19791130]

我想請問老師填充的第4 12 16這3題
感謝您

[thepiano]

第 4 題
連 PT
△PQS = (3/2)△PST = (3/2) * (1/4)△STU = 3/8
同理 △QRT = 2/3，△RPU = 5/12
......


第 12 題
[sin(π/12)]^2 = [(√6 - √2)/4]^2 = (2 - √3)/4
[sin(3π/12)]^2 = (1/√2)^2 = 1/2
[sin(5π/12)]^2 = [cos(π/12)]^2 = 1 - [sin(π/12)]^2 = (2 + √3)/4
再用根與係數之關係
......


第 16 題
數 1 = 1^2：(0，0)
數 9 = 3^2：(1，-1)
數 25 = 5^2：(2，-2)
數 49 = 7^2：(3，-3)
：
：
數 2025 = 45^2：(22，-22)

數 2009 之位置 = 數 2025 之位置往左移動 16 個單位長