整數解
版主: thepiano
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cauchyslin
- 文章: 78
- 註冊時間: 2010年 5月 17日, 23:37
Re: 整數解
x = 4 ± √(16 + 2^y)
16 + 2^y 是完全平方數
由於 x^2 - 8x 為整數，y ≧ 0，
逐一檢驗可知 y = 7，x = -8 or 16
x(x - 8) = 2^y
y ≧ 8 時
(1)若 y 為奇數
把 2^y 拆成最接近的二數相乘是 2^[(y - 1)/2] * 2^[(y + 1)/2]
2^[(y - 1)/2] ≧ 2^4 = 16
2^[(y + 1)/2] - 2^[(y - 1)/2] = 2^[(y - 1)/2] ≧ 16 ＞ x - (x - 8) = 8
故無解
(2)若 y 為偶數
把 2^y 拆成最接近且不等的二數相乘是 2^(y/2 - 1) * 2^(y/2 + 1)
2^(y/2 - 1) ≧ 2^3 = 8
2^(y/2 + 1) - 2^(y/2 - 1) = 3 * 2^(y/2 - 1) ≧ 24 ＞ x - (x - 8) = 8
亦無解
16 + 2^y 是完全平方數
由於 x^2 - 8x 為整數，y ≧ 0，
逐一檢驗可知 y = 7，x = -8 or 16
x(x - 8) = 2^y
y ≧ 8 時
(1)若 y 為奇數
把 2^y 拆成最接近的二數相乘是 2^[(y - 1)/2] * 2^[(y + 1)/2]
2^[(y - 1)/2] ≧ 2^4 = 16
2^[(y + 1)/2] - 2^[(y - 1)/2] = 2^[(y - 1)/2] ≧ 16 ＞ x - (x - 8) = 8
故無解
(2)若 y 為偶數
把 2^y 拆成最接近且不等的二數相乘是 2^(y/2 - 1) * 2^(y/2 + 1)
2^(y/2 - 1) ≧ 2^3 = 8
2^(y/2 + 1) - 2^(y/2 - 1) = 3 * 2^(y/2 - 1) ≧ 24 ＞ x - (x - 8) = 8
亦無解