錯排問題

[armopen]

用數字 1, 2, 3, 4, 5, 6 作成的六位數密碼，數字不重複使用，且前兩位沒有 1, 2, 中間沒有 3, 4, 末兩位沒有 5, 6，

則可以作出幾個密碼？

答案： 錯排 6! - C(3,1) * 2 * 4! + C(3,2) * 2^2 * 2! - 2^3 = 592

我知道應該是用 (全部) - (前兩位排 1 or 2 或 中兩位排 3 or 4 或 末兩位排 5 or 6)

但不理解為何 前兩位排 1 or 2 的方法數是 C(3,1) * 2 * 4!, 請大家幫忙想想, 謝謝.

[thepiano]

(1) □□12□□
(5，6) 只能放在前兩位，(3，4) 只能放在末兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼

(2) □□1□2□
(i) □□1□23
4 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼
(ii) □□1□24
3 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼

(3) □□1□□2
(i) □□1□32
4 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼
(ii) □□1□42
3 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼

(4) □□□12□
(i) □□□123
4 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼
(ii) □□□124
3 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼

(5) □□□1□2
(i) □□□132
4 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼
(ii) □□□142
3 只能放在前兩位之一，(5，6) 只能放在剩餘兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼

(6) □□□□12
(3，4) 只能放在前兩位，(5，6) 只能放在中間兩位
有 2 * 2 = 4 種密碼

(1) ~ (6) 共 40 種，由於 1 和 2 可對調，故所求為 80 種

[armopen]

所以 thepiano 老師您的意思是書上的答案錯了嗎？？？ 謝謝您的幫忙.

[eggsu]

這個問題用錯排好像比較慢，錯排應該要這麼想：
全部 - (1個數字違規) + (2個數字違規) - (3個數字違規) + (4個數字違規) -(5個數字違規) +(6個數字違規)

其中 2 個數字違規，是「1、2 違規」跟是「1、3 違規」，又要分類討論
其他的更複雜，所以還是直接算比較快吧！(見附件)