95 蘭陽女中 (第 9, 10, 11)

[armopen]

9. A, B, C 為三角形的三頂點, 且 P 在三角形的內部,
試證明至少有一角 (角 PAB, 角 PBC, 角 PCA) 小於等於 30 度.

10. 平面上有 9 點, 任 4 點不共線, 兩兩連成一直線, 直線可著藍色、紅色或不著色，試求用最少條直
線不論著藍色、紅色或不著色必有三邊同色的三角形.

11. a 為實數. (25)^x - 2a(5)^x + a^2 + 1 = 0 在 (0,1) 之間只有 1 根 (重根也算一根), 試求所有的 a.

謝謝大家的幫忙.

[thepiano]

第 1 題
Erdos-Mordell 不等式
若 P 到 BC，AC，AB的距離分別為 PD，PE，PF
則 PA + PB + PC ≧ 2(PD + PE + PF)

PA ≧ 2PF，PB ≧ 2PD，PC ≧ 2PE
以上三式至少有一式成立

不失一般性，設 PA ≧ 2PF
sin∠PAB = PF/PA ≦ 1/2
∠PAB ≦ 30 度或 ≧ 150 度
若 ∠PAB ≧ 150 度，則 ∠PBC，∠PCA 均 ＜ 30 度


第 3 題
令 t = 5^x ＞ 0
原方程改寫成 t^2 - 2at + (a^2 + 1) = 0
判別式 (-2a)^2 - 4(a^2 + 1) = -4
無實根 ......

[eggsu]

第 9 題我不會這麼答耶！
因為我不會「Erdos-Mordell 不等式」，我會用反證法！
^^^^^^^更正，應該是歸謬證法！
設此命題為否
則∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30°
接下來，將原三角形標記 A、B 互換位置後(原三角形不動)
因為此命題為否，將得原三角形的 ∠PBA、∠PCB、∠PAC 皆大於 30°
因上述六個角之和應為 180°
但當此命題為否時，將使六個角之和大於 180°，得矛盾
故此命題為真！

請指教，謝謝！

[thepiano]

標記 A 和 B 互換位置後

原∠PAB 變成 新∠PBA (兩者為同一角)

原∠PBA 變成 新∠PAB

無法得到 原∠PBA、∠PCB、∠PAC 皆大於 30°

[eggsu]

您誤會我的意思了！

我是用反證法，設原始命題為否……
則不論原本的△ABC，或是改變標記的△A'B'C，其中A'=B、B'=A
都應該可以可以用 ~「原始命題」
而得到∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30°且∠PA'B'、∠PB'C、∠PCA' 亦大於 30°
這時都用原本的三角形來看，上述六個角就會變成
∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30°且∠PBA、∠PAC、∠PCB 亦大於 30°
所以這六個角之和會大於180°……
但由原本的三角形來看，而這六個角之和應為 180°，得矛盾
所以我們一開始「假設原始命題為否」非真
而得證原始命題為真！

[thepiano]

您一開始假設 ∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30° 沒問題

但再來改變標記後的說法跟"直接"說 ∠PBA、∠PAC、∠PCB 亦大於 30° 沒有不同

也許您是對的，不過小弟理解力不好，這種證法小弟無法認同

[eggsu]

To thepiano
請問您能認同「原命題」等價於下面兩個命題嗎？
(1) 在△DEF內部有一點 P，∠PDE、∠PEF、∠PFD 至少有一角小於等於 30°
(2) 在△GIH內部有一點 P ，∠PGI、∠PIH、∠PHG 至少有一角小於等於 30°

我只是對原本的△，應用兩次 " ~「原命題」" 得到矛盾結果罷了

原命題真的有那麼在意 A、B、C 這三個點的「名稱」嗎？

[eggsu]

To thepiano：
我想我換個「不要標記三角形各點的名稱」的說法好

設此命題為否
則可推論 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 且 「∠4、∠5、∠6 亦皆大於 30°」
則得此三角形的內角和大於180°，得矛盾
故此命題為真

能跟您討論還蠻開心的～～

[thepiano]

借您的圖說明，其實您一開始要說 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 或 「∠4、∠5、∠6 皆大於 30°」 都可以

但您一旦確定 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 後，又馬上接著說 「∠4、∠5、∠6 亦皆大於 30°」，這小弟就不能同意了

另外，原命題中 A、B、C 這三個點的確要先確定(或說固定)，接下來才會有要證明的東西

感謝您在此提出的問題與解答，每一題都有獨到的見解

[eggsu]

您一開始假設 ∠PAB、∠PBC、∠PCA 皆大於30° 沒問題

突然發現難道是因為你以為這是我假設的，而產生這麼一大串的討論
事實上，這並不是我假設的，而是由「否定命題」而得到的結論！
我唯一的假設只有「設原命題為非」

借您的圖說明，其實您一開始要說 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 或 「∠4、∠5、∠6 皆大於 30°」 都可以

但您一旦確定 「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」 後，又馬上接著說 「∠4、∠5、∠6 亦皆大於 30°」，這小弟就不能同意了

不同意的原因是什麼？為什麼不能得到以上兩個結論？
如果原命題為否，我再用新加的兩個附檔來做說明！

設原命題為否，即表示「A, B, C 為三角形的三頂點, 且 P 在三角形的內部, 角 PAB, 角 PBC, 角 PCA 皆大於 30 度」
則對我現在所附上的兩個圖而言，不就是可以得到「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」及「∠4、∠5、∠6 皆大於 30°」
這兩個結論其實是兩次應用否定命題而得到的，是有兩個步驟的：
我是對第一個圖，應用否定命題得到「∠1、∠2、∠3 皆大於 30°」

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接下來再對第二個圖，應用否定命題得到「∠4、∠5、∠6 皆大於 30°」

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再利用其實這兩個圖根本就是同一個圖，只是標號不同罷了，很自然得到內角和大於 180° 的矛盾結果

重點在於我假設了「否定命題」為真，而得到矛盾
我並不是由一個特定的三角形得到命題，而是由「否定命題」不成立得「原命題」成立
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另外，原命題中 A、B、C 這三個點的確要先確定(或說固定)，接下來才會有要證明的東西

感謝您在此提出的問題與解答，每一題都有獨到的見解

如果我是由一個特定的三角形去得到命題為真，那我可能要用你的邏輯，得要把原命題的三個點確定
只是我的證明邏輯出發點並不是如你所想的……