美夢成真教甄討論區

x^1/2 +y^1/2=2009^1/2 360<X<Y 　求X

這是原題　我想本題少了一個條件　即X,Y為正整數　否則會有無窮多組解
在下的想法是將兩邊平方　得 　x+y+2(xy)^1/2=2009　則(xy)^1/2為正整數
令xy=k^2　則原式可寫成　x^2+2kx+k^2=2009x　
移項後　　x^2+(2k-2009)x+k^2=0
則判別式　(2k-2009)^2-4k^2=(M+1/2)^2　　M為正整數
配成(k-a)^2-(M+1/2)^2=c　的形式　求k的正整數解
可是我覺得我的方法很麻煩　　大大們能否提供其他的作法　感恩!　

x 和 y 的確應為正整數

360 ＜ x ＜ y ＜ 2009
18 + √y ＜ √x + √y = √2009 ＜ 45
√y ＜ 27
361 ＜ y ＜ 729

x = (√2009 - √y)^2 = y + 2009 - 14√(41y)
x 為正整數， y 必為 41 之倍數

易知 y 之可能情形為 41 * 9 或 41 * 16，此時 x = 656 或 369

所求之 x = 369

再次感謝琴師!