112 臺南女中

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第 13 題
第 2 張紙條比第 1 張紙條大的機率是 1/2，更換 1 次
第 3 張紙條比第 1 張和第 2 張紙條都大的機率是 1/3，更換 1 次
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：
所求 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

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第 9 題
(n + 1)^2 < n^2 + 3n + 43 < (n + 7)^2
一一檢驗 n^2 + 3n + 43 = (n + 2)^2，(n + 3)^2，(n + 4)^2，(n + 5)^2，(n + 6)^2
可得 n = 39

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第 18 題
連接 A、B、C 三點剛好是以 ∠A 為直角的直角三角形
除了 y = 9 很顯然之外
分別從 A、B、C 三點往 L 作垂線，利用直角三角形三邊長和子母相似，可很快求出另一個答案

小弟電腦壞了，請自行畫圖

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第 8 題
5 天吃吐司，2^4 * C(5，5)
4 天吃吐司，2^5 * C(6，4)
3 天吃吐司，2^6 * C(7，3)
2 天吃吐司，2^7 * C(8，2)
1 天吃吐司，2^8 * C(9，1)
0 天吃吐司，2^9
加起來


第 10 題
令直線 L 的方程式為 y = mx + n
y = x^4 - 3x^2 + 2x + 3 與直線 L 相切於相異兩點
表示 x^4 - 3x^2 + 2x + 3 = mx + n 有兩相異重根
令兩相異重根為 a 和 b
(x - a)^2(x - b)^2 = x^4 - 3x^2 + (2 - m)x + (3 - n)

分別比較兩邊的 x^3、x^2、x 和常數項係數，可得
-2a - 2b = 0
a^2 + 4ab + b^2 = -3
-2a^2b - 2ab^2 = 2 - m
a^2b^2 = 3 - n

化簡可得 m = 2，n = 3/4

[v20160801]

請問填11,12,14,19

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用手機簡單回覆，要畫圖的就不寫了

第 11 題
P_n = P_(n-1) * (5/8) + [1 - P_(n-1)] * (3/8) = 3/8 + (1/4)P_(n-1)
......

第 14 題
∠A = ∠C = 90 度
BD = 20
設外接圓圓心 O
OA = OC = 10，∠AOC = 2∠ADC = 150 度
......

第 19 題
由 f''(x) - 3xf'(x) + 9f(x) = 0
易知 f(x) 是三次多項式
令 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 代入 f''(x) - 3xf'(x) + 9f(x) = 0
可得 f(x) = x^3 - x
g(x) = (1/4)x^4 - (1/2)x^2
......

[v20160801]

請問填11,12,14,19

[v20160801]

請問填 6

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第 6 題
z = a + bi，其中 b ≠ 0
(z - 1)/z^2 = 1/z - 1/z^2 是實數

1/z 的虛部是 [-b/(a^2 + b^2)]i
1/z^2 的虛部是 [-2ab/(a^2 + b^2)^2]i

-b/(a^2 + b^2) + 2ab/(a^2 + b^2)^2 = 0
-b(a^2 + b^2) + 2ab = 0
a^2 + b^2 = 2a
a^2 < 2a
0 < a < 2
0 < 2a < 4

|z|是自然數，a^2 + b^2 是完全平方數
故 2a = 1，a = 1/2，b = ±√3/2