112 鳳山高中

[thepiano]

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計算證明第 4 題
x = 1/(yz)，y = 1/(zx)，z = 1/(xy)

[(x/y) + (x/y) + (y/z)] / 3 >= [x^2 / (yz)]^(1/3) = x
[(y/z) + (y/z) + (z/x)] / 3 >= [y^2 / (zx)]^(1/3) = y
[(z/x) + (z/x) + (x/y)] / 3 >= [z^2 / (xy)]^(1/3) = z
三式相加
(x/y) + (y/z) + (z/x) >= x + y + z
等號成立於 x = y = z = 1

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計算證明第 3 題
x_n = (3/4)x_(n-1) + (1/4)x_(n-2)
由特徵方程式可求出 x_n = (9/5) - [(4/5)(-1/4)^(n-1)]
所求為 9/5

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計算證明第 2 題
1. 以 O 為圓心作一單位圓，交 OP 於 A
2. 作 AB 垂直 x 軸於 B，則 OB = cos 25 度
3. 在正向 x 軸上，取 OC = 3OB = 3cos 25 度
4. 作 CQ 垂直 x 軸，交橢圓於 Q，則 Q 為所求

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計算證明第 1 題
小安先從甲、乙、丙、丁四人中選一人，再從其餘九人中選三人
他錯在，以下兩種情形在上面的算法中是不同的選法，但實際上卻是同一種選法

(1) 先選到甲，再選到乙、丙、丁
(2) 先選到乙，再選到甲、丙、丁


正確算法
全部扣掉都沒選到甲、乙、丙、丁
C(10，4) - C(6，4) = 195 種

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填充第 12 題
圖中有 小、中、大 三種 “田” 字

從 A 經過 C 走到 D，有 3 * 3 種走法
從 A 不經過 C 走到 D，有 2 * 2 種走法
從 小“田” 字 的左下角 A 走到右上角 D 是 3 * 3 + 2 * 2 = 13 種走法

從 中“田” 字 的左下角走到右上角是 13 * 13 + 2 * 2 = 173 種走法

所求是從 大“田” 字 的左下角走到右上角是 173 * 173 + 2 * 2 = 29933 種走法