112 嘉義女中

[thepiano]

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[v20160801]

請問9,10,11,12，15,16

[thepiano]

第 9 題
令 g(x) = f(x + 1)
g(0) = f(1) = 2、g(4) = f(5) = 8、g(8) = f(9) = 11

令 g(x) = ax(x - 8)(x - 4) + bx(x - 8) + cx + 2
g(8) = 11、g(4) = 8 代入可得
g(x) = ax(x - 8)(x - 4) - (3/32)x(x - 8) + (9/8)x + 2

所求 = ∫g(x)dx (從 0 積到 8)
......


第 10 題
f'(x) = 12x^2 - 24x + 8 - f(x)
f(x) = 12x^2 - 24x + 8 - f'(x)
設 f(x) = 12x^2 + bx + c
f'(x) = 24x + b

12x^2 + bx + c = 12x^2 - 24x + 8 - (24x + b)
......


第 11 題
f'(x) = a(x - 1)(x - 3)
易知 b = 2

f(x) = (1/3)ax^3 -2ax^2 + 3ax + C
f(2) = 5，C = 5 - (2/3)a

f(x) = (1/3)ax^3 -2ax^2 + 3ax + 5 - (2/3)a
所求 = ∫f(x)dx (從 0 積到 4)
......


第 12 題
令 f(x) = 4x^2 - 3ax + 4k

t * f(t) = 4t^3 - 3at^2 + 4kt
∫(4t^3 - 3at^2 + 4kt)dt (從 0 積到 1) = 1 - a + 2k

k = 1 - a + 2k
k = a - 1

f(x) = 4x^2 - 3ax + 4a - 4

g'(x) = 2x + 4 - (x + 1) * g'(x)
g'(x) = 2
g(x) = 2x + a

f(x) - x * g(x) = 2x^2 - 4ax + 4a - 4 = 0
α + β = 2a
αβ = 2a - 2

所求 = (β^2 + βα + α^2) - a(β + α) + a^2 = 3a^2 - 2a + 2
......


第 15 題
PQ 的最大值出現在 P、O、C、M、Q 依序五點共線
此時 OC = 8，OP = OM = 8 + 4 = 12，MQ = (1/2)MC = 2


第 16 題
摺起後，由三垂線定理可知 AC 和 CD 垂直
AD = 10，CD = 5，AC = 5√3

△ACD = (25/2)√3

設 B 到平面 ACD 的距離 = h
(25/2)√3 * h * (1/3) = 20
......

[thepiano]

第 14 題
內切圓圓 O 和 AD、BC 分別切於 E、F
令 DE = x
OE = OF = √3x，CF = 3x
AE = 5 - x，BF = 10 - 3x
利用 △AEO 和 △OFB 相似，可求出 x = 2
梯形 ABCD 的高 EF = 4√3，面積為 30√3