求係數

[cauchyslin]

如附件 請教各位高手

[ellipse]

如附件 請教各位高手

令w=(-1+(3)^0.5*i)/2,
設f(x)= a_0+a_1*x +a_2*x^2+a_3*x^3+.........+a_12*x^12
則f(1)= a_0 +a_1 +a_2 +a_3+..............+a_12 .............(1)
f(w)= a_0+a_1*w +a_2*w^2+a_3*w^3+........+a_12*w^12...........(2)
f(w^2)=a_0+a_1*w^2+a_2*w^4+a_3*w^6+........+a_12*w^24........... (3)
(1)+(2)+(3)得
f(1)+f(w)+f(w^2)=3*a_0+3*a_3+3*a_6+3*a_9+3*a_12 (因為w降次方及1+w+w^2=0)
所求=a_3+a_6+a_9+a_12=(f(1)+f(w)+f(w^2)-3*a_0)/3
其中a_0=1,f(w)可先將其中兩項展開,再利用w降次方及1+w+w^2=0算出
如果f(w)=c+di,則f(w^2)=c-di (實係數多項式之共軛複數的函數值性質)

不知道還有沒有比較快的方法...

[thepiano]

好漂亮的方法

不過化簡 f(w) 時會很頭大就是了 ......