美夢成真教甄討論區

有紅、白、藍、紫、橙 7 顆彥色相異的珠子串成一個項圈，則紅、白、黃三珠恰有一珠與紫色的珠子相鄰，方法有幾種？

答案： 216

我算出的答案是 360，不知道算法哪裡錯了，請大家幫我看看.

珠子相鄰的狀況有三種，所以算式的列法是連同相鄰的二珠在內相當於 6 個物品作項圈排列

3*(6!/6)*(1/2)*2! ，2! 指的是相鄰 2 人的排列。

7 顆顏色(紅、白、黃、紫、藍、橙、綠)相異的珠子串成一個項圈的方法數是 6! / 2 = 360
所以您的答案一定是錯的

紅、白、黃三珠中只能有一珠與紫珠相鄰，您的算法包含三珠中的兩珠都與紫珠相鄰

(1) 紅、白、黃三珠中恰有兩珠與紫珠相鄰
先假設紅、白兩珠都與紫珠相鄰，此三珠先視為一珠，五珠做項圈排列是 4!/2
又紅、白兩珠可交換，故紅、白、黃三珠中恰有兩珠與紫珠相鄰的方法數是 (4!/2) * 2 * C(3，2) = 72

(2) 紅、白、黃三珠都不與紫珠相鄰
表示藍、橙、綠三珠中恰有兩珠與紫珠相鄰，方法數同 (1)



360 - 72 * 2 = 216

恭喜發財 ......

再請問 thepiano 老師，那麼書上的解法又該如何解釋呢？

(3 * 3 * 2! * 5!/5)/2 = 216

謝謝

(3 * 3 * 2! * 5!/5)/2 = 216

3*3*2!是先把限制的3個珠子圈在一起
(中間為紫色,兩側為紅、白、黃三珠選一和其他顏色三珠選一,其中兩側珠子可交換)
5!/5是把此受限制的3個珠子這1個個體和其他4個珠子作環狀排列
最後除以2是因為可以翻轉

應該是這樣子吧!

我懂了，謝謝 azse0319 老師的幫忙！