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數論2題
版主: thepiano
Re: 數論2題
第 1 題
n^4 - 4n^3 + 22n^2 - 36n + 18 = (n^2 - 2n + 9)^2 - 63
令 n^2 - 2n + 9 = a，a^2 - 63 = b^2
(-2)^2 - 4(9 - a) ≧ 0
a ≧ 8
(a + b)(a - b) = 63
由於 a + b 和 a - b 不可能同時為負 (會導致 a ＜ 0 )
故 (a + b)(a - b) = 63 * 1 = 21 * 3 = 9 * 7
a = 32，12，8
n = 3，1
第 2 題
易知 n ≡ 2 (mod 10)
令 n = 10a + 2
(10a + 2)^3 = 1000a^3 + 600a^2 + 120a + 8
由於末三位為 888
60a^2 + 12a ≡ 88 (mod 100)
a ≡ 4 or a ≡ 9 (mod 10)
令 a = 10b + 4 = 10c + 9
60a^2 + 12a = 60(10b + 4)^2 + 12(10b + 4) ≡ 20b + 8 (mod 100)
b 最小為 4，此時 n = 442
60a^2 + 12a = 60(10c + 9)^2 + 12(10c + 9) ≡ 20c + 68 (mod 100)
c 最小為 1，此時 n = 192
所求為 192
n^4 - 4n^3 + 22n^2 - 36n + 18 = (n^2 - 2n + 9)^2 - 63
令 n^2 - 2n + 9 = a，a^2 - 63 = b^2
(-2)^2 - 4(9 - a) ≧ 0
a ≧ 8
(a + b)(a - b) = 63
由於 a + b 和 a - b 不可能同時為負 (會導致 a ＜ 0 )
故 (a + b)(a - b) = 63 * 1 = 21 * 3 = 9 * 7
a = 32，12，8
n = 3，1
第 2 題
易知 n ≡ 2 (mod 10)
令 n = 10a + 2
(10a + 2)^3 = 1000a^3 + 600a^2 + 120a + 8
由於末三位為 888
60a^2 + 12a ≡ 88 (mod 100)
a ≡ 4 or a ≡ 9 (mod 10)
令 a = 10b + 4 = 10c + 9
60a^2 + 12a = 60(10b + 4)^2 + 12(10b + 4) ≡ 20b + 8 (mod 100)
b 最小為 4，此時 n = 442
60a^2 + 12a = 60(10c + 9)^2 + 12(10c + 9) ≡ 20c + 68 (mod 100)
c 最小為 1，此時 n = 192
所求為 192