101 文華高中計算一題

[thepiano]

若 p、q 是自然數，且 p^2 + 5pq + q^2 = 7^101，求 q 的所有可能解

請參考附件

[thepiano]

填充第 12 題

計算 Σ[10^(k/40)] (k = 1 ~ 40)，其中 [] 是高斯符號

分別算出 40 * log2、40 * log3、......、40 * log10

得

(1) 1 ≦ k ≦ 12，[10^(k/40)] = 1
(2) 13 ≦ k ≦ 19，[10^(k/40)] = 2
(3) 20 ≦ k ≦ 24，[10^(k/40)] = 3
(4) 25 ≦ k ≦ 27，[10^(k/40)] = 4
(5) 28 ≦ k ≦ 31，[10^(k/40)] = 5
(6) 32 ≦ k ≦ 33，[10^(k/40)] = 6
(7) 34 ≦ k ≦ 36，[10^(k/40)] = 7
(8) 37 ≦ k ≦ 38，[10^(k/40)] = 8
(9) k = 39，[10^(k/40)] = 9
(10) k = 12，[10^(k/40)] = 10

所求 = 12 + 2 * 7 + 3 * 5 + 4 * 3 + 5 * 4 + 6 * 2 + 7 * 3 + 8 * 2 + 9 + 10 = 141

[happier]

請教填充13的a7、填充14
感謝回答。

[thepiano]

填充第 13 題
請參考附件

第 14 題
易知 cos∠BCD = 1/5
△ABC 面積為 6√6

定坐標，A(x，y，z)，C(0，0，0)，D(6，0，0)，B(1，2√6，0)

則
x^2 + y^2 + z^2 = 5^2
(x - 6)^2 + y^2 + z^2 = 5^2
(x - 1)^2 + (y - 2√6)^2 + z^2 = 6^2
易求出 x = 3，y = (√6)/3，z = (√138)/3

所求 = (1/3) * 6√6 * (√138)/3 = 4√23

[ellipse]

請教填充13的a7、填充14
感謝回答。

#13提供另一種想法
首先多項式先配對
[(x+1)(x+10)]*[(x+2)*(x+9)]*[(x+3)(x+8)]*[(x+4)(x+7)]*[(x+5)*(x+6)]
=(x^2+11x+10)*(x^2+11x+18)*(x^2+11x+24)*(x^2+11x+28)*(x^2+11x+30)
(令A=x^2+11x)
=(A+10)*(A+18)*(A+24)*(A+28)*(A+30)
=(A^2+28A+180)*(A^2+58A+840)*(A+30)
=A^5+110A^4+......................(因為只要求x^8,x^7的係數,所以A^3以下就不用看)
=(x^2+11x)^5+110*(x^2+11x)^4+.................
在(x^2+11x)^5中的一般項為C(5,r)*11^r* x^(10-r)
在110(x^2+11x)^4中的一般項為110*C(4,k)*11^k *x^(8-k)
當r=2,k=0,可求x^8的係數=C(5,2)*11^2+110*C(4,0)=55*24
當r=3,k=1,可求x^7的係數=C(5,3)*11^3+110*C(4,1)*11=55^2*6

[thepiano]

填充第 3 題

這題蠻有趣的

令 S = 16c + 12d - 2ac - 2bd - 47
= (c^2 + d^2 + 96) - 2ac - 2bd - 47 + (a^2 + b^2 - 49)
= (a - c)^2 + (b - d)^2

S 可視為圓 x^2 + y^2 = 7^2 上一點 (a，b) 到 (x - 8)^2 + (y - 6)^2 = 2^2 上一點 (c，d) 距離的平方

畫圖可知，S 之最小值 = √(8^2 + 6^2) - 7 - 2 = 1

所求 = S^(1/3) 之最小值 = 1

[victy614]

請教老師 本份考卷第15題如何解題? 感謝您!

[thepiano]

Math.Pro 已有討論
http://math.pro/db/thread-1333-4-1.html

[idontnow90]

第 14 題
請問如何知道坐標要這樣定?謝謝~

[thepiano]

第 14 題
請問如何知道坐標要這樣定?

有疑問的應是 B 座標
因 cos∠BCD = 1/5