美夢成真教甄討論區

題目請到 Math.Pro 下載
http://math.pro/db/thread-1355-1-1.html


計算第 5 題
這題很好玩
x ＜ 2012
n ＞ 6，n! ＞ 2012
[x/n!] = 0

故原式改寫成
[x] + [x/2!] + [x/3!] + [x/4!] + [x/5!] + [x/6!] = 2012
x + x/2! + x/3! + x/4! + x/5! + x/6! ＞ [x] + [x/2!] + [x/3!] + [x/4!] + [x/5!] + [x/6!] = 2012
(1237/720)x ＞ 2012
x ≧ 1172

x = 1172 時，[x] + [x/2!] + [x/3!] + [x/4!] + [x/5!] + [x/6!] = 2011
x = 1173 與 x = 1172 比較只有 [x] 多 1
故所求為 1173

thepiano 寫:題目請到 Math.Pro 下載
http://math.pro/db/thread-1355-1-1.html
計算第 5 題

這題我在大陸競賽的書有看過,此次題目後面的數據有改過
哇!
鋼琴兄的作法比它的解答精簡許多了
給您按個讚!

計算第3題
第(1)小題用算幾加上a_n遞減可輕易證出
然後第(2)小題，如果小弟去考，應該是直接放棄

不過如果把 a_n 先求出來，這二小題就簡單了，請參考附件

寫一下填充第 3 題
請參考附件

填充第 5 題
x ≡ 2 (mod 3) 和 x ≡ 2 (mod 9)
整合成 x ≡ 2 (mod 9)

x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 5 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 9)

5 * 7 * 9 ≡ 1 (mod 2)

2 * 7 * 9 ≡ 2 * 2 * 4 ≡ 1 (mod 5)

2 * 5 * 9 ≡ 2 * 5 * 2 ≡ 6 (mod 7)
2 * 5 * 9 * 2 ≡ 6 * 2 ≡ 5 (mod 7)

2 * 5 * 7 ≡ 7 (mod 9)
2 * 5 * 7 * 8 ≡ 8 * 7 ≡ 2 (mod 9)

所求為 5 * 7 * 9 + 2 * 7 * 9 + 2 * 5 * 9 * 2 + 2 * 5 * 7 * 8 (mod 2 * 5 * 7 * 9) = 551

請教一下，填充第一題和第六題如何解呢?

第 1 題
包含 P 及 (x - 1)/2 = (y + 1)/(-1) = (z - 2)/1 之平面為 2x + 3y - z = -3
包含 P 及 (x + 1)/2 = (y - 3)/(-2) = (z - 1)/1 之平面為 y + 2z = 5
這兩平面的交線方程式即為所求

不過以"對稱比例式"來表示此直線，並非唯一，不知出題老師用意何在？

謝謝鋼琴老師的回答，不過上式中兩平面方程好像上下寫反了。
順便想請問一下，計算第三是中，老師有寫到a_n的一般式，
請問這一般式是如何用特徵方程式導出的，
或者哪有資料，我自己去翻就好了，謝謝

打太快，已修正

一般式的求法請參考 "高中數學競賽教程" P320

hugo 寫:請教一下，填充第一題和第六題如何解呢?

#6
假設O(0,0,0), P(1,2,3),向量OP=(1,2,3)
A(1,-1,1),則向量OA為直線L的方向向量
且設向量OQ=(a,b,c)為"向量OP以直線L為軸，逆時針旋轉120度 "後所得的向量
先求包含P(1,2,3)且垂直直線L的平面E:x-y+z-2=0
依題意知Q(a,b,c)在E上,所以a-b+c-2=0-------------(1)
再求A(1,-1,1)在E上的投影點O'(2/3,-2/3,2/3)
依題意知向量O'P‧O'Q =|O'P| |O'Q| cos120度
整理得a+8b+7c=-19---------------(2)
又|OP|=|OQ| ,可得a^2+b^2+c^2=14--------------(3)
由(1),(2),(3)解得(a,b,c)=(-2,-3,1)或(3,-1,-2)
依題意旋轉後的解為(-2,-3,1)