美夢成真教甄討論區

1.設a,b,c為三角形ABC的三邊長，則a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=0為何種三角形?(93陽明高中)
2.設直線PQ是歪斜線PA與QB的公垂線，已知PA=3,QB=4,AB=6，且向量PA與向量QB夾60度，則歪斜線距離為?(93新竹女中)
謝謝回答。

第 1 題
a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)
= -(a - b)(b - c)(c - a)

第 2 題
向量符號省略
可利用 |AB|^2 = |AP + PQ + QB|^2 = |AP|^2 + |PQ|^2 + |QB|^2 + 2(AP˙PQ + PQ˙QB + QB˙AP) 去做

想再請教3題
1.若ABCD為空間中相異四點，試證AB^2+BC^2+CD^2+DA^2大於等於AC^2+BD^2。(93彰化女中)
2.ABCDEF為一圓內接六邊形，AB=BC=CD=a，DE=EF=FA=b，請用a,b表示六邊形面積。(93大里高中)
3.n為正整數，cot^2(pi/2n+1)+cot^2(2*pi/2n+1)+cot^2(3*pi/2n+1)+...+cot^2(n*pi/2n+1)=?(93大里高中)
非常感謝。

第3題可參考
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2012s/3ans.pdf
他求的不一樣但方法類似啦~~

第1題(以下皆為向量)
|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-|AC|^2-|BD|^2
=|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-(AC*AC)-(BD*BD)
=|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-(AB+BC)(AB+BC)-(BC+CD)(BC+CD)
=|DA|^2-2(AB*BC)-|BC|^2-2(BC*CD)
=|DA|^2+|BC|^2-2(AB*BC)-2|BC|^2-2(BC*CD)
=|DA|^2+|BC|^2-2BC(AB+BC+CD)
=|DA|^2+|BC|^2-2(BC*AD)
=|DA|^2+|BC|^2+2(BC*DA)
=|DA+BC|^2 >=0
故得證

dream10 寫:第3題可參考
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2012s/3ans.pdf
他求的不一樣但方法類似啦~~

這樣用它最後寫出的方程式+根與係數
可得所求=C(2n+1,3)/(2n+1)

第 2 題
不失一般性，設 b ＞ a
易證出 ∠BAF = ∠CDE = 120 度，BCEF 是等腰梯形

BF^2 = a^2 + b^2 + ab
BCEF 之高 = √{(a^2 + b^2 + ab) - [(b - a)/2]^2} = (√3/2)(a + b)

BCEF = (a + b) * (√3/2)(a + b) * (1/2) = (√3/4)(a + b)^2
△BAF = (1/2)ab * sin120度 = (√3/4)ab

所求 = △BAF + △CDE + BCEF = (√3/4)(a^2 + 4ab + b^2)