不等式

[M9331707]

設0<x<pi/2,求9tan^2(x)+4cot^2(x)+12tan(x)+12cot(x) 之最小值
為何不能直接用算術平均數大於等於幾何平均數呢?

[armopen]

稍微更正一下，仍可以用算幾喔 (高中數學 101 的方法)，您提到的這題我作過

將原式表為 9tan^2(x) + 6cot(x) + 6cot(x) (用第一次算幾)

4cot^2(x) + 6tan(x) + 6tan(x) (用第二次算幾)

上面二式相加，等號成立於 9tan^2(x) = 6cot(x) 且 4cot^2(x) = 6tan(x) => tan(x) = "2/3" 的 3 次方根.

[thepiano]

不能用算幾，因為等號成立的條件不存在

參考
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=37241
不用 Holder's inequality 的話，也可用微分！

[eggsu]

armopen 的算法是可行的，
不過對於一般化的問題 a tan^2(x) + b tan(x) + c cot(x) + d cot^2(x) 應該沒辦法使用

9tan^2(x) + 6cot(x) + 6cot(x) + 4cot^2(x) + 6tan(x) + 6tan(x) ≧ 3 (9*6*6)^(1/3) + 3 (4*6*6)^(1/3) = 9*12^(1/3) + 6*18^(1/3)

其中等號成立時 9tan^2(x) = 6cot(x) 且 4cot^2(x) = 6tan(x) ，即 tan(x)=(2/3)^(1/3)