美夢成真教甄討論區

題目請到 Math.Pro 下載
http://math.pro/db/thread-1729-1-1.html

提供一下參考答案，請參考附件，有錯請指正

整理一下第十題，請參考附件

老師您好，請問第二大題是非題的第(3)題和第(6)題
應該要如何證明是正確的呢??謝謝您。

二(3)
這題用反證法即可

二(6)
這題小弟之前沒證，直覺是正確的，但後來發現是錯誤的

反例如下：
見下圖
A(0，0，0)，O(1，2，0)，D(2，0，0)，B(3，2，0)
C(3，2，3)，E(2，0，3)，P(4，0，3)
這樣 OP^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 = 22，但非長方體

謝謝老師，第二大題的第6小題找得出反例也太厲害了...
另外關於第2小題，利用"反證法"，
請問我是要：
"假設f(x)為非整係數多項式，但對所有整數K，恆使f(K)為整數，證明其矛盾" 還是
"假設f(x)為非整係數多項式，則必存在一整數K，使得f(K)為非整數"
這題光看文字敘述頭就昏了 = = 謝謝老師。

先假設 f(x) 非整係數多項式，然後證明存在一整數 k，使得 f(k) 非整數

請教一下六七兩題
謝謝@

第 6 題
(1) 有理數 a/b [其中 b≠0，(a，b) = 1]
(i) 若 b 只含質因數 2 或 5，則可將 a/b 擴分成分母是 10^n (n 是自然數)的分數，如此一來，必可化為有限小數
(ii) 若 b 含質因數 2 和 5 以外的質因數，則在 a 除以 b 的過程中，餘數必為 1，2，3，...，b-1 其中之一，那麼最多除到第 b 次，一定會循環

(2) 可舉"無窮盡的連分數"


第 7 題
det(A) * det(X) = det(AX) = det(I) = 1
det(A)≠0
故 A 有反矩陣 A^(-1)

XA = IXA = (A^(-1)A)XA = A^(-1)(AX)A = A^(-1)IA = A^(-1)A = I

johncai 寫:請教一下六七兩題
謝謝@

#6 (2)
(i)無理數以數列極限比值表示:
假設<F_n >為費波納契數列
則lim (n->infinity) F_(n+1) / F_(n)
= (1+5^0.5)/2 約 1.618...
為黃金比例

(ii)無理數以無窮級數表示:
1+1/2^2 +1/3^2 +..................=Pi^2/6 (歐拉級數) ---------(*)
1-1/3+1/5-1/7+1/9-...............=Pi/4 (萊布尼茲級數)

題外話:
我一位很強的朋友有一次去考一間前幾自願的明星學校,有進複試.
口試時當場叫他證明(*)這個級數.當然這個沒有先準備好(世界名題)
怎會證?所以要考教甄的網友也要準備好這題證明~~
經過不斷的磨練~~
後來這位朋友現在在更有名的明星學校任教~~