請問該如何思考 謝謝
若0≦x≦1,使得｜根號(1-x^2)-px-q｜≦(根號2-1)/2
求p,q之值
ans：p=-1,q=(根號2+1)/2
不等式
版主: thepiano
Re: 不等式
我想到利用三角函數處理，不過覺得這方法有點麻煩，提出來和各位大大交流一下囉！
令x = cosθ ∵ 0≦x≦1 ∴-π∕2 ≦θ≦ π∕2
√(1-x^2)-px-q = sinθ-pcosθ-q (0≦θ≦π∕2) 或 -sinθ-pcosθ-q (-π∕2≦θ≦0)
√(1-x^2)-px-q = √(1+p^2) 〔sinθ/√(1+p^2)-cosθ*p/√(1+p^2)〕-q (0≦θ≦π∕2) 或 -√(1+p^2) 〔sinθ/√(1+p^2) +cosθ*p/√(1+p^2)〕-q (-π∕2≦θ≦0)
令cosψ=1/√(1+p^2) sinψ=p/√(1+p^2) -π∕2≦ψ≦π∕2
√(1-x^2)-px-q=√(1+p^2) sin (θ-ψ) -q (0≦θ≦π∕2) 或
√(1+p^2) (-θ-ψ) –q (-π∕2≦θ≦0)
令f(θ) =√(1+p^2) sin (θ-ψ) -q 0≦θ≦π∕2 、-π∕2≦ψ≦π∕2
則 f(θ) 的 Ma× 發生在θ-ψ= π∕2 其值為 √(1+p^2)–q ; Min發生在θ =0或π∕2 此時 f(θ) = –p–q 或1- q
√(1+p^2)–q = √2 -1)/2
–p–q = –√2 +1)/2
解出得 q =√2 +1)/2 p = -1
令x = cosθ ∵ 0≦x≦1 ∴-π∕2 ≦θ≦ π∕2
√(1-x^2)-px-q = sinθ-pcosθ-q (0≦θ≦π∕2) 或 -sinθ-pcosθ-q (-π∕2≦θ≦0)
√(1-x^2)-px-q = √(1+p^2) 〔sinθ/√(1+p^2)-cosθ*p/√(1+p^2)〕-q (0≦θ≦π∕2) 或 -√(1+p^2) 〔sinθ/√(1+p^2) +cosθ*p/√(1+p^2)〕-q (-π∕2≦θ≦0)
令cosψ=1/√(1+p^2) sinψ=p/√(1+p^2) -π∕2≦ψ≦π∕2
√(1-x^2)-px-q=√(1+p^2) sin (θ-ψ) -q (0≦θ≦π∕2) 或
√(1+p^2) (-θ-ψ) –q (-π∕2≦θ≦0)
令f(θ) =√(1+p^2) sin (θ-ψ) -q 0≦θ≦π∕2 、-π∕2≦ψ≦π∕2
則 f(θ) 的 Ma× 發生在θ-ψ= π∕2 其值為 √(1+p^2)–q ; Min發生在θ =0或π∕2 此時 f(θ) = –p–q 或1- q
√(1+p^2)–q = √2 -1)/2
–p–q = –√2 +1)/2
解出得 q =√2 +1)/2 p = -1