玩計算機時想到的一個題目...期望值

[kyrandia]

1~10任取一個整數 如果是奇數就減一 如果是偶數就除以二..以此類推 一直算到1為止
假設取到的是7
因為7是奇數 所以7-1=6
因為6是偶數 所以6/2=3
因為3是奇數 所以3-1=2
因為2是偶數 所以2/2=1 停止

令X為除以2的次數 Y為減一的次數 以上題而言X=2 Y=2
我想問的是當給定所選取的範圍 例如1~1000
那麼E(X) E(Y) Var(X) Var(Y) 會市多少

我試過很多方法 但是發現最後的結果似乎都是必須回到先求出f(x)以及f(y)
而這中間的過程似乎有牽涉到費馬小定理(個人感覺)

請各位高手 提出較可行的方法...感恩

[kyrandia]

此題目 我的作法是 將n改為二進位表示法
而x ,y 和0,1 出現的次數似乎有很強的關係存在( 我還沒想到嚴謹的証明 直覺是對的)
接下來1到n的所有二進位表示法 其0和1的出現次數是"應該是"均勻的,因為逢二進一
從這一點應該可以得到x 和y的分配函數 (這是我目前遇到的難題)

因為這題已經卡了快半年...在想不出來 我可能就會放棄
希望各位高手可以提出你的見解....或許我的方法根本行不通 感恩..