101中區詳解整理

[farewell324]

想請教44的D選項
有什麼反例嗎?

[thepiano]

想請教44的D選項
有什麼反例嗎?

參考 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AD%8F% ... D%E6%95%B0

[farewell324]

謝謝thepiano老師的回應!!

另外想請教第31題
funnybee老師提供的作法一開始讓我感覺開了眼界～
求反函數的導函數時，
如果沒有辦法先整理成y=f^-1(x)的顯函數形式
也可以使用隱函數微分 很快的得到y'
但如此算出來的y'仍然是用y來表示的，還是會遇到需要代換回x的問題

想請教一下怎麼做才是正確的作法呢？

[ellipse]

謝謝thepiano老師的回應!!

另外想請教第31題
funnybee老師提供的作法一開始讓我感覺開了眼界～
求反函數的導函數時，
如果沒有辦法先整理成y=f^-1(x)的顯函數形式
也可以使用隱函數微分 很快的得到y'
但如此算出來的y'仍然是用y來表示的，還是會遇到需要代換回x的問題

想請教一下怎麼做才是正確的作法呢？

y=x+lnx ,兩端對y微分
1 = dx/dy+ d(lnx)/dy (令 dx/dy =x' )
1=x'+[d(lnx)/dx]* [dx/dy] (chain rule)
1=x' + (1/x)* x'
整理得 x' =x/(x+1)

[farewell324]

第31題
y=x+lnx ,兩端對y微分
1 = dx/dy+ d(lnx)/dy (令 dx/dy =x' )
1=x'+[d(lnx)/dx]* [dx/dy] (chain rule)
1=x' + (1/x)* x'
整理得 x' =x/(x+1)

不好意思我還是有不清楚的地方想請教~
請求指教一下我的錯誤之處
先簡化一下題目成y=x^3好了，想要求反函數的導函數
於是按照ellipse的做法
y=x^3 ,兩端對y微分
1 =3x^2 * x' (令 dx/dy =x' )
x'=1/(3x^2)

如果先求反函數、再求導函數
y=x^(1/3)....反函數
y'=(1/3) * x^(-2/3)

兩者並不相同，為什麼會這樣呢？

[thepiano]

小弟試著解釋一下，有誤的話，請 ellipse 兄指正

dx/dy = 1/(3x^2)，指的是一個 y 的函數 x = f(y) 對 y 微分的結果，應該以 y 來表示

由於原函數是 y = x^3，故 x = y^(1/3)，代入上式可得 f '(y) = dx/dy = 1/[3y^(2/3)]

而 f '(y) = 1/[3y^(2/3)]
把變數 y 用 x 代替後，就是 f '(x) = 1/[3x^(2/3)]
藍色的 x 純粹只是一個變數，不是上面的函數 x = f(y)

[farewell324]

小弟試著解釋一下，有誤的話，請 ellipse 兄指正

dx/dy = 1/(3x^2)，指的是一個 y 的函數 x = f(y) 對 y 微分的結果，應該以 y 來表示

由於原函數是 y = x^3，故 x = y^(1/3)，代入上式可得 f '(y) = dx/dy = 1/[3y^(2/3)]

而 f '(y) = 1/[3y^(2/3)]
把變數 y 用 x 代替後，就是 f '(x) = 1/[3x^(2/3)]
藍色的 x 純粹只是一個變數，不是上面的函數 x = f(y)

所以如果使用 ellipse 老師的方法，就還是必須將原函數整理成顯函數的樣子再代入才對吧～(如thepiano老師的第三行)
而像原題(31題)這樣比較複雜的函數，沒有辦法換成顯函數的樣子應該怎麼做呢？

[thepiano]

而像原題(31題)這樣比較複雜的函數，沒有辦法換成顯函數的樣子應該怎麼做呢？

最快的方法如下：
把原函數微分，再取倒數，然後把 x 視為 y 的函數
y' = 1 + 1/x
所求 = 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1)

[farewell324]

而像原題(31題)這樣比較複雜的函數，沒有辦法換成顯函數的樣子應該怎麼做呢？

最快的方法如下：
把原函數微分，再取倒數，然後把 x 用 y 替換，這很容易證明，就不寫了
y = x + lnx
y' = 1 + 1/x
所求 = 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1) 替換成 y/(y + 1)，原題目的選項應用變數 y 較好

嗯嗯!　我也認為原題目的選項應以y為變數

x是可以直接替換成y嗎？　不是應該從原式整理再代入嗎？

[thepiano]

刪去 ......