請教AMC數學一題

[ruby0519]

thepiano老師：
新年快樂喔
有一題數學想請教您
詳如附件
謝謝您

[thepiano]

剛剛從台北回來，被平溪的人潮嚇到 ......



此題不好理解，小弟儘量寫清楚一些

在 2 個連續的 5 的次方之間，最少有 2 個連續的 2 的次方，最多有 3 個連續的 2 的次方 (這個易證，留給您練習)
換句話說，在 2 個連續的 5 的次方之間，不是包含 2 個連續的 2 的次方，就是包含 3 個連續的 2 的次方

此題要滿足 5^n ＜ 2^m ＜ 2^(m + 1) ＜ 2^(m + 2) ＜ 5^(n + 1)，也就是在求後者有幾個

2^2013 ＜ 5^867 ＜ 2^2014
2^2010 = (2^2013)/8 ＜ (2^2013)/5 ＜ 5^866 ＜ (2^2014)/5 ＜ (2^2014)/4 = 2^2012

問題來了，2^2011 到底比 5^866 大，還是小？
用電腦算，易知 2^2011 ＞ 5^866
取對數，log2 用 0.301，log5 用 0.699，發現 2^2011 ＜ 5^866

(1) 2^2011 ＞ 5^866
在 5^0 和 5^1 之間有 2 個連續的 2 的次方 (2^1、2^2 這 2 個)
在 5^1 和 5^2 之間有 2 個連續的 2 的次方 (2^3、2^4 這 2 個)
在 5^2 和 5^3 之間有 2 個連續的 2 的次方 (2^5、2^6 這 2 個)
在 5^3 和 5^4 之間有 3 個連續的 2 的次方 (2^7、2^8、2^9 這 3 個)
:
:
在 5^866 和 5^867 之間有 3 個連續的 2 的次方 (2^2011、2^2012、2^2013 這 3 個)

設所求為 x 組
3x + 2(867 - x) = 2013
x = 279

最後一組符合 5^n ＜ 2^m ＜ 2^(m + 1) ＜ 2^(m + 2) ＜ 5^(n + 1) 此條件，就是 m = 2011 的情形

(2) 2^2011 ＜ 5^866
在 5^0 和 5^1 之間有 2 個連續的 2 的次方 (2^1、2^2 這 2 個)
在 5^1 和 5^2 之間有 2 個連續的 2 的次方 (2^3、2^4 這 2 個)
在 5^2 和 5^3 之間有 2 個連續的 2 的次方 (2^5、2^6 這 2 個)
在 5^3 和 5^4 之間有 3 個連續的 2 的次方 (2^7、2^8、2^9 這 3 個)
:
:
在 5^866 和 5^867 之間有 2 個連續的 2 的次方 (2^2012、2^2013 這 2 個)
最後一組不符合 5^n ＜ 2^m ＜ 2^(m + 1) ＜ 2^(m + 2) ＜ 5^(n + 1) 此條件，略去不算

設所求為 x 組
3x + 2(866 - x) = 2011
x = 279


故不管 2^2011 和 5^866　的大小為何，都不影響答案

[ruby0519]

謝謝thepiano老師
我懂了
但我不會證明下面這個敘述可以再請教一下嗎
在 2 個連續的 5 的次方之間，最少有 2 個連續的 2 的次方，最多有 3 個連續的 2 的次方 (這個易證，留給您練習)

[thepiano]

設 5^n ＜ 2^m ＜ ... ＜5^(n + 1)

(1) 先證最多只有 3 個連續的 2 的次方
5^(n + 1) = 5 * 5^n ＜ 8 * 5^n ＜ 8 * 2^m ＜ 2^(m + 3)
故 5^n 和 5^(n + 1) 之間最多只有 2^m、2^(m + 1)、2^(m + 2) 這 3 個連續的 2 的次方

(2) 再證最少會有 2 個連續的 2 的次方
5^n ≧ 2^(m - 1) + 1
5^(n + 1) ≧ 5 * [2^(m - 1) + 1] ＞ 4 * 2^(m - 1) = 2^(m + 1)
故 5^n 和 5^(n + 1) 之間最少會有 2^m、2^(m + 1) 這 2 個連續的 2 的次方

[ruby0519]

（2）5^n ≧ 2^(m - 1) + 1
可以請問thepiano老師
這個式子從何得知
會有這樣的關係呢

[thepiano]

因為 2^(m - 1) ＜ 5^n ＜ 2^m
5^n 是奇數，2^(m - 1) 是偶數，故 5^n ≧ 2^(m - 1) + 1

[ruby0519]

請問thepiano老師
（1）何以得知 2^(m - 1) ＜ 5^n
(2) 5^(n + 1) ≧ 5 * [2^(m - 1) + 1] ＞ 4 * 2^(m - 1) = 2^(m + 1)
上面這個式子如果只寫成如下的式子可以嗎
5^(n+1)>5*2^(m-1)>4*2^(m-1) = 2^(m + 1)

[thepiano]

(1）何以得知 2^(m - 1) ＜ 5^n

若 2^(m - 1) ＞ 5^n，則 5^n 和 5^(n + 1) 之間就有 2^(m - 1) 和 2^m 這 2 個連續的 2 的次方
這樣還用證嗎？

(2) 5^(n + 1) ≧ 5 * [2^(m - 1) + 1] ＞ 4 * 2^(m - 1) = 2^(m + 1)
上面這個式子如果只寫成如下的式子可以嗎
5^(n+1)>5*2^(m-1)>4*2^(m-1) = 2^(m + 1)

可以！