101中區詳解整理

[farewell324]

x是可以直接替換成y嗎？　不是應該從原式整理再代入嗎？

可以直接替換

這裡會搞不清楚是因為沒分清 x 是函數還是變數罷了

那麼y=x^3的例子裏，就會變成：
y'=3x^2 取倒數：1/(3x^2)
再將x以y直接替換：1/(3y^2)
我理解以y來表示是正確的，
但如果要以x來表示，也還是要將y拿原式整理後的結果代入表示。

現在似乎就回到一開始的問題：卡在y無法輕易從反函數中代換

所以，如果有辦法代換進去，將反函數的導函數以x表示，答案仍然是公布的 y'=x/(x + 1)嗎？
還是說這題的題目敘述是正確的，但只是選項誤植y為x呢？

[thepiano]

重寫一次

y = x^3 → y' = 3x^2 → 所求 = 1/3x^2 (藍色的 x 視為 y 的函數)，就不用替換了

原題 y = x + lnx → y' = 1 + 1/x → 所求 = 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1) (藍色的 x 視為 y 的函數)，這樣選項就沒有誤植了

[farewell324]

重寫一次

y = x^3 → y' = 3x^2 → 所求 = 1/3x^2 (藍色的 x 視為 y 的函數)，就不用替換了

原題 y = x + lnx → y' = 1 + 1/x → 所求 = 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1) (藍色的 x 視為 y 的函數)，這樣選項就沒有誤植了

但我簡化的y = x^3此題的答案並不是1/3x^2 耶，是1/3 * x^(-2/3)才對吧！
這樣子做不會對吧...?

[thepiano]

y = x^3 ←→ x = y^(1/3)

dy/dx = 3x^2

所求 = dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/(3x^2) = 1/[3y^(2/3)]
(藍色的 x 是變數為 y 的函數)

若我們把 1/[3y^(2/3)] 記為 f(y)
則 f(y) = 1/[3y^(2/3)]
若把變數 y 改寫成 x，就變成您算出來的 f(x) = 1/[3x^(2/3)] (棕色的 x 是一個變數)

=========================================================================================

至於原題 y = x + lnx 的 x 無法用 y 來表示，即無法直接求出反函數

dy/dx = 1 + 1/x

所求 = dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1) (藍色的 x 是變數為 y 的函數)
由於這裡的 x 無法用 y 來表示，故無法替代，就以此為答案囉


不知以上的解釋好不好懂？

[ellipse]

不要想太複雜
也不要常x,y互換,這樣自己會亂掉
題目不是要求反函數x =x( y)的導函數?
即求dx/dy,而這題x無法以y來表示
所以根本不需要去找反函數
直接算dx/dy= 1/(dy/dx) -----------(*)
而dy/dx=d(x+lnx)/dx =1+1/x=(x+1)/x代入(*)
所求dx/dy=x/(x+1)

真的不要想太多,結果就把它當成一個"微分方程式"

[farewell324]

謝謝兩位老師細心的解答!

那麼我了解原本題目選項中的x是表示函數
因為我正納悶題目要求的x =x( y)的導函數，怎麼會不是以y來表示
謝謝!!