103 中大壢中

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第 1 題
用輾轉相除法
(n + 4) 除 (n^2 + 7) 得到商(n - 4)，餘 23
23 除 (n + 4)，整除
故 n + 4 = 23，46，69，92


第 10 題
乙丙甲○○○：2 種

乙○甲丙○○：4 種
乙○甲○丙○：6 種
乙○甲○○丙：4 種
計 14 種

○丙甲乙○○：4 種
○丙甲○乙○：6 種
○丙甲○○乙：4 種
計 14 種

乙丙○甲○○：4 種
乙丙○○甲○：4 種
乙丙○○○甲：2 種
計 10 種

○○甲乙丙○：4 種
○○甲乙○丙：4 種
○○甲○乙丙：4 種
乙丙可交換，計 24 種

乙○○甲丙○：4 種
乙○○甲○丙：4 種
乙○○○甲丙：2 種
甲丙可交換，計 20 種

○丙○甲乙○：6 種
○丙○甲○乙：6 種
○丙○○甲乙：4 種
甲乙可交換，計 32 種

○○○甲乙丙：2 種
甲乙丙可交換，計 12 種

總計 128 種

這題有沒有較快的解法？

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計算第 1 題
a 和 b 是正整數
用 (a + 2)(b + 1) = 32 去討論 a 和 b 的可能情形即可

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計算第 1 題
若 a、b 只是正數，就這樣做

b = (30 - a)/(a + 2)

ab = (-a^2 + 30a)/(a + 2)
= [-(a + 2)^2 + 34(a + 2) - 64]/(a + 2)
= 34 - [(a + 2) + 64/(a + 2)]
≦ 34 - 2√64
= 18

等號成立於 a = 6，b = 3