103 鳳山高中

[thepiano]

官方已公布題目，請參考附件

[thepiano]

填充第 2 題
設直線 AE 和直線 BC 交於 Q
在 △CDF 中，由孟式定理有 (DP/FP) * (FQ/CQ) * (CE/DE) = 1
(DP/FP) * (7/5) * (2/1) = 1
DP/FP = 5/14
△PDE = (1/3)△CDP = (1/3)(5/19)△CDF = (1/3)(5/19)(4/10)ABCD = (2/57)ABCD
△PDE：ABCD = 2：57


填充第 7 題
恰有 2 對配對成功的情形有 C(3，2) * C(3，2) * 2 * (3^2 - 1) = 144
乘以 2 是 2 對男女可互換
第 3 男有 3 種選擇，第 3 女有 3 種選擇，但由於這一對配對失敗，故情形有 (3^2 - 1) 種

各位也可練習一下
求無人配對成功的的情形有幾種？
求恰有 1 對配對成功的情形有幾種？
求全部配對成功的情形有幾種？


計算第 3 題
(a^2 + 2)(2 + b^2) ≧ (√2a + √2b)^2 = 2(a + b)^2
(b^2 + 2)(2 + c^2) ≧ (√2b + √2c)^2 = 2(b + c)^2
(c^2 + 2)(2 + d^2) ≧ (√2c + √2d)^2 = 2(c + d)^2
(d^2 + 2)(2 + a^2) ≧ (√2d + √2a)^2 = 2(d + a)^2
[(a^2 + 2)(b^2 + 2)(c^2 + 2)(d^2 + 2)]^2 ≧ 16[(a + b)(b + c)(c + d)(d + a)]^2
(a^2 + 2)(b^2 + 2)(c^2 + 2)(d^2 + 2) ≧ 4(a + b)(b + c)(c + d)(d + a)

[thepiano]

填充第 13 題
令 f(x) = (x + 12)(x + 2)(x - 1)(x - 4)(x - 5) + x(x - 2)(x - 3)(x - 8)(x - 18)
易知 f(0) = -480 ＜ 0，f(1) = 238 ＞ 0
故此有理根在 0 和 1 之間

f(x) 的 x^5 之係數為 2，常數項為 -480
由牛頓定理知 2x - 1 可能為 f(x) 之因式

檢驗 f(1/2) = 0，知所求為 1/2

[leo790124]

請問老師

(a^2 + 2)(2 + b^2) ≧ (√2a + √2b)^2 = 2(a + b)^2

這一行的大於等於的部分該如何想到呢???
實際打開確實是算幾的結果
但應如何湊出來呢?

[williebom]

這不是柯西不等式嗎?

[leo790124]

原來是科西!!!!!!!!!
謝謝

[leo790124]

請教第11題

z^2-4=cos(5pi/6+2k pi)+isin(5pi/6+2k pi)
z^2+4=cos(pi/3+2m pi)+isin(pi/3+2m pi)

兩式相加再和差化積的方法有誤嗎?

[thepiano]

計算第 1 題
易知 (√3 + √2)^2014 + (√3 - √2)^2014 為整數
(√3 + √2)^2014 的小數部分 = 1 - (√3 - √2)^2014
(√3 - √2)^2014 很小
(√3 + √2)^2014 的小數點後第一位數字是 9

[thepiano]

填充第 11 題
101 屏東女中考過，題號也是第 11 題
viewtopic.php?f=53&t=2904

[thepiano]

第 12 題
轉成 " 3 黑 3 白 2 紅 1 黃 1 綠，共 10 個球排成一列，其中黑球★和白球☆不相鄰的排法數"

分以下 10 種情形，再把剩餘 4 球插入
(1) ★★★☆☆☆：1 個地方要隔開，H(7，3) 種
(2) ★★☆★☆☆：3 個地方要隔開，H(7，1) 種
(3) ★★☆☆★☆：3 個地方要隔開，H(7，1) 種
(4) ★★☆☆☆★：2 個地方要隔開，H(7，2) 種
(5) ★☆★★☆☆：3 個地方要隔開，H(7，1) 種
(6) ★☆★☆★☆：5 個地方要隔開，0 種
(7) ★☆★☆☆★：4 個地方要隔開，1 種
(8) ★☆☆★★☆：3 個地方要隔開，H(7，1) 種
(9) ★☆☆★☆★：4 個地方要隔開，1 種
(10)★☆☆☆★★：2 個地方要隔開，H(7，2) 種

[H(7，3) + H(7，2) * 2 + H(7，1) * 4 + 2] * (4!/2!) * 2 = 4080

最後的乘以 2 是黑和白可互換