103 桃園高中二招

[thepiano]

第 8 & 18 題
請參考附件 20140618.doc


第 23 題
畫出 y = 3x^2 + mx - 2 之圖形
其開口朝上，與 x 軸交於兩點，這兩點的坐標大於 -9/5，小於 3/7

易知 f(3/7) ＞ 0，且 f(-9/5) ＞ 0
可解出 71/21 ＜ m ＜ 193/45
m = 4


第 21 題
2011 TRML 個人賽


第 29 題
今年北一女二招考過

[thepiano]

第 1 題
α 為 y = 3/2 - x 與 y = 2^(x - 1) 之交點橫坐標
β 為 y = 3/2 - x 與 y = log(x - 1) (以 2 為底) 之交點橫坐標

y = 2^(x - 1) 和 y = log(x - 1) (以 2 為底) 的圖形關於 y = x - 1 對稱
y = 3/2 - x 和 y = x - 1 交於 (5/4，1/4)

故 α + β = 5/4 * 2 = 5/2

[thepiano]

第 24 題
先排甲、乙、己、庚、辛，再從 6 個間隔中，選 3 個插入丙、丁、戊
有 5! * C(6，3) * 3! = 14400 種排法

上面的排法中，甲和乙相鄰的排法要扣除
把甲乙綁在一起，先排(甲乙)、己、庚、辛，再從 5 個間隔中，選 3 個插入丙、丁、戊
有 4! * C(5，3) * 3! * 2 = 2880 排法
最後的乘以 2，是甲和乙可互換

所求 = 14400 - 2880 = 11520

[thepiano]

第 20 題
ab + bc + ca = 0
a + b + c = 9
易知 a^2 + b^2 + c^2 = 81
很常見的題目，用柯西不等式可知 -3 ≦ c ≦ 9
a + b = 9 - c 的最大值是 12

[thepiano]

第 13 題
先取出 5 隻，則最少 1 雙，假設這雙是紅

取第 6 隻，最差的情形是取出紅，無法湊成 1 雙
取第 7 隻，不管何色，都可湊成 1 雙，假設這雙是綠
取第 8 隻，最差的情形是取出綠，無法湊成 1 雙
取第 9 隻，不管何色，都可湊成 1 雙，......

易知從第 6 隻起，最差的情形是每取 2 隻，可湊成 1 雙
故所求 = 5 + 2 * 9 = 23

[prayer]

想請教第15題。感謝:)

[thepiano]

第 15 題
設 AB = a，AD = b
則 BE = 6/a，DF = 4/b，CE = b - 6/a，CF = a - 4/b

(b - 6/a)(a - 4/b) = 2
ab - 4 - 6 + 24/(ab) = 2
ab + 24/(ab) = 12
ab = 6 ± 2√3 (6 - 2√3 不合)

所求 = 6 + 2√3 - 3 - 2 - 1 = 2√3

[aichiang]

請教一下填充題
3,4,6,7,12
謝謝

[ellipse]

請教一下填充題
3,4,6,7,12
謝謝

#4
f(x)=a(x-1/2)^2+4=ax^2-ax+(a/4+4)
α+β=-(-a)/a=1------------(1)
αβ=(a/4+4)/a=1/4 +4/a---------------(2)
由題意知|α|+|β|=2--------------(3)
不失一般性假設α>=β
由(1)&(2)可知αβ<0,且α-β=2-----------(4)
由(1)&(4)可得α=3/2 ,β=-1/2代入(2)
1/4 +4/a = -3/4 ,解得a=-4


其他請參考
http://math.pro/db/thread-1949-1-1.html

[thepiano]

第 3 題
設 直線 AC 與圓交於 E 和 F，其中 E 在 A 和 C 之間
則 CD * BC = CE * CF = (97 - 86)(97 + 86) = 11 * 3 * 61
又 11 = 97 - 86 ＜ BC ＜ 97 + 86 = 183 且 BC ＞ CD
故 BC = 61


第 12 題
題目寫的落落長，其實很容易

(4，10) 在直線 CD：2x - y + 2 = 0 上，且讓目標函數有最小值

把目標函數 k = ax + by + 32 改寫成 k = 2tx - ty + 32
(4，10) 代入得 18 = 8t - 10t + 32
t = 7

k = 14x - 7y + 32
把 A(4，0) 和 B(8，10) 代入
得 k = 88 or 74

所求為 88

剩下的，Math.Pro 都有詳解了