104 全國聯招

[thepiano]

計算第 2 題
在直線 AB 上取一點 D (A 在 B 和 D 之間)，使 AD = AC，連 CD
BC^2 = AB(AB + AC) = AB * (AB + AD) = AB * BD
AB：BC = CB：BD
△ABC 和 △CBD 相似
令 ∠ACB = ∠CDB = ∠DCA = x 度
則 ∠CAB = 2x 度
x + 2x = 180 - 54
x = 42
∠ACB = 42 度


計算第 3 題
(x + 1/y)(y + 1/z)(z + 1/x) = xyz + 1/(xyz) + x + 1/y + y + 1/z + z + 1/x = 28/3
xyz + 1/(xyz) = 28/3 - 4 - 1 - 7/3 = 2
xyz = 1

[thepiano]

單選第 2 題
1001 ≡ 0 (mod 13)
10010 ≡ 0 (mod 13)
100100 ≡ 0 (mod 13)
1001 + 10010 + 100100 = 111111 ≡ 0 (mod 13)
888888 ≡ 0 (mod 13)

2015 / 6 = 335 ... 5
所求 = 88888 (mod 13) ≡ 7 (mod 13)


填充第 3 題
題目的第四行有錯字，38 應改成 34

第 m 列第 n 行的數字 (1 ≦ m ≦ 17，1 ≦ n ≦ 29)
在第一種排法 = n + 29(m - 1)
在第二種排法 = m + 17(n - 1)
n + 29(m - 1) = m + 17(n - 1)
n = (7m - 3)/4
(m，n) = (1，1)，(5，8)，(9，15)，(13，22)，(17，29)
位置沒有改變的數字為 1，124，247，370，493


填充第 8 題
拿破崙三角形面積 = [△ABC + (√3 / 12)(AB^2 + BC^2 + CA^2)] / 2
而 △ABC = (9/4)√3


填充第 9 題
√(x^4 - 3x^2 - 6x + 13) - √(x^4 - x^2 + 1)
= √[(x - 3)^2 + (x^2 - 2)^2] - √[(x - 0)^2 + (x^2 - 1)]^2
視為 y = x^2 上一點 P(x，x^2) 到 A(3，2) 和 B(0，1) 距離之差
所求為 AB = √10

[lingling02]

想請教單選3,5 還有填充4,6 ,,計算1 感謝!!

[ksjeng]

計算第1題
(1)見附件
(3)應該更正題目「最大值」才對

[ellipse]

第 8 題
拿破崙三角形面積 = [△ABC + (√3 / 12)(AB^2 + BC^2 + CA^2)] / 2
而 △ABC = (9/4)√3

我只能說考這題就送給他~

[thepiano]

單選第 3 題
先用餘弦定理求出 cosA = 1/2，sinA = √3/2
△ABC = 6√3
CH = 2√3，BH = 4，AH = 2
PC：PH = AC：AH = 2：1
向量 BP = (2/3)向量 BH + (1/3)向量 BC = (2/3)(2/3)向量 BA + (1/3)向量 BC = (4/9)向量 BA + (3/9)向量 BC
所求 = 4/9 + 3/9 = 7/9


單選第 5 題
同一個人沒有連著兩天打掃的情形有 3 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 96 種安排法

在這 96 種排法中，這 6 天至少有 2 人共同打掃

這 6 天恰有 2 人打掃的情形只有以下 6 種
甲乙甲乙甲乙
乙甲乙甲乙甲
甲丙甲丙甲丙
丙甲丙甲丙甲
乙丙乙丙乙丙
丙乙丙乙丙乙

所求 = (96 - 6)/96 = 0.9375


填充第 4 題
設 AC 中點為 P
則 △PBD 和 △PMN 相似
BC/MN = PB/PM = 3/1
BC = 6
所求 = (3/4) * π * (√6 / 12 * 6)^3 = √6π


填充第 6 題
可得到獎金的情形有
(1，5)、(1，6)
(2，6)、(2，7)
(3，7)、(3，8)
(4，5)、(4，8)
(5，9)
(6，9)
(7，9)
(8，9)

所求 = (6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 9 + 12 + 14 + 15 + 16 + 17) / C(9，2) = 67/18

[cauchyslin]

想請教單選8 我只算出AB:AC=1:2 ><

[ellipse]

想請教單選8 我只算出AB:AC=1:2 ><

參考~
http://math.pro/db/thread-2252-2-1.html

[cauchyslin]

感恩Ellipse兄的協助~

[lingling02]

感謝 ksjeng 大和thepian大
另外填充第4
設 AC 中點為 P
則 △PBC 和 △PMN 相似 <----想不通

填充第 4 題
設 AC 中點為 P
則 △PBC 和 △PMN 相似
BC/MN = PB/PM = 3/1
BC = 6
所求 = (3/4) * π * (√6 / 12 * 6)^3 = √6π