112 新竹市國中

[thepiano]

請參考附件

數學在第 41 ~ 80 題

第 44 題
答案有誤，應選 (B)

第 55 題
答案有誤，應選 (B)

第 59 題
題目有誤，正確答案是 -3/4，無選項可選

第 61 題
題目有誤，(C) 選項 sec 少一個平方

[c490090]

想求救版上數學神人
第44.50.52.53.55.56~52.68~70.80題

[thepiano]

第 44 題
利用微積分基本定理
f'(x) = √(1 + x^4)
令 g(x) = f^(-1)(x)，所求是 g'(2)

g(f(x)) = x
兩邊微分
g'(f(x)) * f'(x) = 1
x = 1 代入
......

答案有誤，應選 (B)


第 50 題
利用微積分基本定理和 L'Hospital's Rule
分子和和分母分別微分
可得 √(x^4 + 4)
x = 0 代入
......


第 52 題
先積 x 再積 y，兩個都是從 0 積到 1
......


第 53 題
1/[1 * 2 + 2 * 3 + ...+ n(n + 1)] = 1/Σ[k(k + 1)] (k = 1 ~ n) = 1/{[n(n + 1)(2n + 1)/6] + [n(n + 1)/2]}
= 3/[n(n + 1)(n + 2)]
= (3/2){1/[n(n + 1)] - 1/[(n + 1)(n + 2)]}
......


第 55 題
利用 L'Hospital's Rule
分子和和分母分別微分
可得 [6x^2 - f'(x^2) * 2x]
x = 1 代入
......
答案有誤，應選 (B)


第 56 題
利用黎曼和
原式 = (1/2)(2/n){√[1/√(1 + 2/n)] + √[1/√(1 + 4/n)] + ... + √[1/√(1 + 2n/n)]}
= (1/2)∫[1/√(1 + x)]dx (從 0 積到 2)
......


第 57 題
改成極座標
x = rcosθ，y = rsinθ
原式 = ∫∫e^(-r^2)rdrdθ (r 從 0 積到 ∞，θ 從 0 積到 π/2)
......


第 58 題
原式 = xcot(x) = [x * cos(x)]/sin(x)
利用 L'Hospital's Rule
分子和和分母分別微分
......


第 59 題
[2x + √(4x^2 + 3x - 2)] * {[2x - √(4x^2 + 3x - 2)]/[2x - √(4x^2 + 3x - 2)]}
= (-3x + 2)/[2x - √(4x^2 + 3x - 2)]
上下同除以 x
因為 x → -∞，x < 0，x = -√(x^2)
(-3 + 2/x)/[2 + √(4 + 3/x - 2/x^2)]
......


第 60 題
令 t = 1/(x - 1)，x = 1 + 1/t
x → 1+，t → ∞
原式 = lim(1 + 1/t)^(-t) = lim[1/(1 + 1/t)]^t(t → ∞)
......


第 61 題
tan(f(x)) = [sec(f(x))]^2 * f'(x)
......
(C) 選項 sec 少一個平方


第 62 題
利用柯西不等式
(x^2 + y^2)(3^2 + 4^2) ≧ (3x + 4y)^2
......


第 68 題
利用 arctan(x) 的泰勒展開式
arctan(x) = 1 - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
......


第 69 題
當 n → ∞，π/n → 0，cos(π/n) → 1
......


第 70 題
利用 L'Hospital's Rule
分子和和分母分別微分
......


第 80 題
兩邊同乘以 a + b + c
......

[eaddiye]

想求救版上數學神人
第42、48、52題…
感謝

[thepiano]

第 42 題
f(x) 的圖形是以 x = 2 為對稱軸
所求 = 2 * 4


第 48 題
8^nx^2 - 2^n(2^n + 1) + 1 = 0
(2^nx - 1)(4^nx - 1) = 0
A_n = (1/2^n，0)，B_n = (1/4^n，0)
所求 = Σ[(1/2)^n - (1/4)^n] (n → ∞)
......


第 52 題
上面已有

[eaddiye]

感謝～～
52題是誤植，我想要問的是54題，希望板上數學大神可以幫忙解答

[thepiano]

第 54 題
x^2023(x^2 + ax + b) = (x - 2)^2 * q(x) + 2^2023(x - 2)
x = 2 代入，可得 4 + 2a + b = 0

微分
x^2023(2x + a) + 2023x^2022(x^2 + ax + b) = (x - 2)^2 * q'(x) + 2(x - 2) * q(x) + 2^2023
x = 2 代入，可得 a = -3

b = 2

[LS0722]

各位老師好，想請教一下59題的選項
我照鋼琴老師的作法計算，算出來的答案是-3/4
但試卷上的答案是-4/3
想請問是不是我有哪個細節沒注意到以致算錯，感謝！

[thepiano]

第 59 題
您沒算錯，是題目有誤，正確答案是 -3/4

[LS0722]

好的，感謝鋼琴老師提點～