113 嘉科實中國中部

[thepiano]

請參考附件

官方修正答案
填充第 5 題 無窮多個
填充第 6 題 4320

[mathtsai]

想請教老師，填充2、4、6的作法，謝謝^_^

[thepiano]

第 2 題
2(cosx)^2 + sin2x - 2sin2xcos2x
= 1 + cos2x + sin2x - 2sin2xcos2x

令 sin2x + cos2x = t，易知 -√2 ≦ t ≦ √2
2sin2xcos2x = (sin2x + cos2x)^2 - 1 = t^2 - 1

1 + cos2x + sin2x - 2sin2xcos2x
= -t^2 + t + 2
= -(t - 1/2)^2 + 9/4
t = -√2 時，有最小值 -√2


第 4 題
2 ~ 2024 這 2023 個正整數中，有 1011 個奇數、1012 個偶數

裁判擦去一個奇數的機率是 1011/2023，此時剩 1010 個奇數和 1012 個偶數
甲先擦，只要他一直都只擦奇數，最後必剩 2 個偶數，不互質
甲必勝

裁判擦去一個偶數的機率是 1012/2023，剩 1011 個奇數 和 1011 個偶數
乙恰可把相鄰的兩數分成一組，甲先擦，乙接著擦掉同一組的另一個數，最後必剩 2 個相鄰的數，互質
乙必勝


第 6 題
先求這四個人可使用至少一個共同語言溝通的情況有幾種

(1) 這四個人恰可使用 3 個共同語言溝通
有 C(5，3) = 10 種

(2) 這四個人恰可使用 2 個共同語言溝通
有 C(5，2) * (3^4 - 3) = 780 種

(3) 這四個人恰可使用 1 個共同語言溝通
有 C(5，1) * {[C(4，2)]^4 - C(4，2) - C(4，1) * (3^4 - 3)} = 4890

所求 = C(5，2)]^4 - 10 - 780 - 4890 = 4320
與官方公布的答案不同

其中 [C(4，2)]^4 - C(4，2) - C(4，1) * (3^4 - 3)
是四個人，每人均恰會四種語言中的其中兩種，這四個人無法使用一個共同語言溝通的情形數

[Hawlee]

可以請教第五題嗎，謝謝

[thepiano]

第 5 題
可參考 yymath 老師的解法
https://math.pro/db/thread-3820-2-1.html