115 臺南市國中

[thepiano]

請參考附件

第 17 題
切點 (1，-1) 不在切線 2x - 3y = 7 上，題目有誤

[LS0722]

各位老師好，想詢問10、14、15、20、23、25、26、32這些題目，感謝！

[thepiano]

第 10 題
n/√(n^2 + n) < 1/ √(n^2 + 1) + 1/ √(n^2 + 2) + ... + 1/ √(n^2 + n) < n/√(n^2 + 1)
1/√(1 + 1/n) < 1/ √(n^2 + 1) + 1/ √(n^2 + 2) + ... + 1/ √(n^2 + n) < 1/√(1 + 1/n^2)
由夾擠定理，可知極限為 1


第 14 題
(A) 錯誤，應是 f'(1/x) * (-1/x^2)
(B) 錯誤，應是 f'(x) = e^2
(C) 錯誤，當 x < 0，f(x) = -x^3 - 2x，f'(x) = -3x^2 - 2，而 |3x^2 + 2| = 3x^2 + 2
(D) 正確，f(x) + 1 = g(x)，f'(x) = g'(x)


第 15 題
(A) 錯誤，反例：當 f(t) = 1，∫f(t)dt (從 3 積到 x) = x - 3，無最小值
(B) 錯誤，反例：當 f(t) = t，∫f(t)dt (從 x 積到 x + 2) = (1/2)[(x + 2)^2 - x^2] = 2x + 2，其值與 x 有關
(C) 正確，12 / (4 - 1) = 4
(D) 錯誤，反例：f(x) = 1 是偶函數，f(x) 的反導數是 x + a，其中 a 是實數，當 a ≠ 0，非奇函數


第 20 題
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f(3) - f(-3) = 54a + 6c = -24 - 120 = -144
9a + c = -24

f(-2) - f(4) = -72a - 12b - 6c = 51 - (-69) = 120
b = -6a - c/2 - 10

f(-2) - f(4) = 120 = f(-3)
-72a - 12b - 6c = -27a + 9b - 3c + d
d = -45a - 21b - 3c = -45a - 21(-6a - c/2 - 10) - 3c = 81a + (15/2)c + 210

f(-2) = -8a + 4b - 2c + d = -8a + 4(-6a - c/2 - 10) - 2c + 81a + (15/2)c + 210 = 51
49a + (7/2)c = -119

a = -2


第 23 題
a(x^2 - 4xy + 5y^2 - y) + b(3x^2 - 3y^2 + x) + 12xy - 38x + 12y + k = 0
(a + 3b)x^2 - (4a - 12)xy + (5a - 3b)y^2 + (b - 38)x - (a - 12)y + k = 0 為一圓
故 a + 3b = 5a - 3b 且 4a - 12 = 0
即 a = 3，b = 2

9x^2 + 9y^2 - 36x + 9y = -k
x^2 + y^2 - 4x + y = -k/9
(x - 2)^2 + (y + 1/2)^2 = -k/9 + 4 + 1/4
圓心 (2，-1/2)

-k/9 + 4 + 1/4 = 2^2
k = 9/4

乙、丁說法正確


第 25 題
BC 中點即為圓心 O，OA = 2
設 AB = x，OB = y
2^2 = x^2 + y^2 ≧ 2xy = ABCD
ABCD ≦ 4


第 26 題
先畫出拋物線 y = x^2 + 3x + 2
y = |x^2 + 3x + 2| 的圖形，就是把此拋物線在 x 軸下方的部分往上摺
原頂點 (-3/2，-1/4)，摺上去後是 (-3/2，1/4

再觀察它與水平線 y = k 的交點
可發現 k = 0 或 k > 1/4 時，有兩個交點


第 32 題
f(x) = [3^x - 3^(-x)] / [3^x + 3^(-x)] = [3^(2x) - 1] / [3^(2x) + 1]
f(m) = 1/5，[3^(2m) - 1] / [3^(2m) + 1]，3^(2m) = 3/2
f(n) = 1/6，[3^(2n) - 1] / [3^(2n) + 1]，3^(2n) = 7/5
f(m + n) = [3^(2m + 2n) - 1] / [3^(2m + 2n) + 1] = [(3/2)(7/5) - 1] / [(3/2)(7/5) + 1] = 11/31