96南縣國中Q.37.42.44.47.48.49

[kfy1987627]

請問以下題目的作法
thanks~

(C)37.設a,b,c,d為四個相異正整數使得集合{a,b,c,d}={2,4,6,8}, 則ab+bc+cd+da 的最大值是多少？
(A)84(B)96(C)120(D)240

(我是算100耶....，錯在哪裡呢？)

(C)42.如果直角三角形的三邊長都是整數，且周長的值等於面積的值，則這樣的直角三角形共有幾個？(全等三角形只計一個)
(A)1(B)2(C)4(D)6

(除了6,8,10和5,12,13，還有別組嗎？)

(B)44.△ABC中，∠A=70度 ，I 為 △ABC的內心使得AC+AI=BC ，則∠B的度數為多少度？(A)20(B)35(C)70(D)90

(A)47.無窮級數Σn=0→∞[(-1)^n/(2n+1)]=? (A)π/4 (B) π/2(C)3π/4 (D)π

(C)48. lim(n→∞)[(1/√n)(1+(1/√2)+(1/√3)+(1/√4)+(1/√5)+.....+(1/√n)]=？(A)0(B)1(C)2(D)+∞

(B)49.△ABC中，D,E,F 分別為三邊 BC，CA 與AB 上的點，使得∠AFE=∠BFD ，∠BDF=∠CDE 及 ∠CED=∠AEF。
如果AB=5 ，BC=8 及CA=7 ，則BD=? (A)2(B)5/2 (C)7/2 (D)4

[thepiano]

這些題目在舊論壇應該都解過，等它恢復正常再搜尋吧！

[kfy1987627]

不好意思 因為我是新手
最近才上這個討論區
請問舊論壇有連結嗎
還是什麼時候會恢復呢？
感謝回覆

[thepiano]

舊論壇搜尋
http://forum.nta.org.tw/examservice/search.php

更舊論壇搜尋
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/search.php

欲搜尋國中教甄數學考古題解答
版面可選 "國中教甄其他科問題交流及討論區" 及 "國小教甄數學科問題交流及討論區"
關鍵字自己打，像這幾題可用"南縣"當關鍵字

不過最近這兩個舊論壇常進不去，不過都不會掛太久就是了 ......

第 37 題
先取 a = 8，由於 b 及 d 和 a 相乘，所以 b 和 d 要儘量大
再取 b = 6，d = 4
c = 2

所求 = 100

官方給的解答有誤！

第 42 題
令此直角三角形之三邊長為 a^2 - b^2，2ab，a^2 + b^2 (斜邊)　[a ＞ b]
a^2 - b^2 + 2ab + a^2 + b^2 = ab(a^2 - b^2)
2a(a + b) = ab(a + b)(a - b)
b(a - b) = 2
b = 2，a - b = 1 或 b = 1，a - b = 2
所求的直角三角形只有 (5，12，13) 及 (6，8，10) 這 2 個

官方給的解答有誤！


第 44 題


延長 CA，使 AJ = AI
BC = JC，∠JBC = ∠BJC ...... (1)

又直線 CI 是 BJ 之垂直平分線
BI = JI，∠JBI = ∠BJI ...... (2)

(1) - (2)
∠IBC = ∠IJC = ∠IAC / 2
所求 = 2∠IBC = ∠IAC = 35 度


第 47 題
可令 f(x) = Σ(n = 0 ~ ∞) [(-1)^n * x^(2n + 1)] / (2n + 1)
f'(x) = Σ(n = 0 ~ ∞) (-1)^n * x^(2n) = 1 – x^2 + x^4 – x^5 + …… = 1 / (x^2 + 1)
f(x) = ∫[1 / (x^2 + 1)]dx = arctan(x)

所求 = arctan(1) = π/4


第 48 題
√k + √(k - 1) ＜ 2√k ＜ √(k + 1) + √k
1 / [√(k + 1) + √k] ＜ 1 / (2√k) ＜ 1 / [√k + √(k - 1)]
2[√(k + 1) - √k] ＜ 1 / √k ＜ 2[√k - √(k - 1)]
2[√(k + 1) - √k] ＜ Σ(1 / √k) (k = 1 ～ n) ＜ 2[√k - √(k - 1)]
2[√(n + 1) - 1] ＜ Σ(1 / √k) (k = 1 ～ n) ＜ 2√n
2[√(1 + 1 / n) - 1 / √n] ＜ (1 / √n) * Σ(1 / √k) (k = 1 ～ n) ＜ 2
......


第 49 題
△DEF 是 △ABC 的垂足三角形

[證明]


1. 過 A 作 HG 平行 BC

2. ∠AHD = ∠BDF = ∠BAC = ∠CDE = ∠AGD，DH = DG

3. CE/AE = CD/AG，AF/BF = AH/BD
(CE/AE) * (AF/BF) = (CD/AG) * (AH/BD)
AH/AG = (AF * CE * BD) / (AE * BF * CD) = (DF * CE * BD) / (BD * BF * CD) = 1，AH = AG

4. △AHD 和 △AGD 全等 (SAS)，∠DAH = ∠DAG = 90 度，DA⊥HG，AD⊥BC，同理 BE⊥AC，CF⊥AB

[f19791130]

因為舊論壇的連結有毀損或詳解不完整
所以我想再重新請問各位老師第22 41這兩題
另外
第49題的證明過程中
第二個步驟 為何DH = DG
還有第三個步驟 為何(DF * CE * BD) / (BD * BF * CD) = 1
也請知道的老師能夠替小弟解惑
謝謝

[thepiano]

第 22 題
進入：6 * 5 * 4

出來分四種情形，計 71 種情形
(1) 三人均未從之前進入的 3 門出來：3! = 6
(2) 三人之中有一人從之前進入的 3 門中的某一門出來：[C(3，1) * 2] * [C(3，2) * 2] = 36
(3) 三人之中有二人從之前進入的 3 門中的某二門出來：[C(3，2) * 3] * C(3，1) = 27
(4) 三人均從之前進入的 3 門出來：2

所求 = 6 * 5 * 4 * 71


第 41 題
令 AB = x，14 ＜ x ＜ 64
半周長 S = (64 + x) / 2

(25 * 39 * x) / [4 * (125/6)] = √{[(64 + x) / 2][(64 - x) / 2][(x + 14) / 2][(x - 14) / 2]}
(117x) / 10 = √[(64 + x)(64 - x)(x + 14)(x - 14)] / 4
234x = 5√[(64 + x)(64 - x)(x + 14)(x - 14)]
2^2 * 3^4 *13^2 * x^2 = 5^2 * (64 + x)(64 - x)(x + 14)(x - 14)
x 為 5 的倍數且為偶數
考慮 x = 20，30，40，50，60
即知 x = 40


用正弦定理更快，請參考 "子寧" 老師之文章
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=28687
一開始的假設 AB = t
再來應是 39 / sinA = 25 / sinB = t / sinC = 125 / 3


第 49 題
第二個步驟
DH = DG
等角對等邊

第三個步驟
令
∠AFE = ∠BFD = ∠1
∠BDF = ∠CDE = ∠2
∠CED = ∠AEF = ∠3

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB + 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 540 度
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 度

∠BAC = ∠2
∠ABC = ∠3
∠ACB = ∠1

△AFE，△DFB，△DCE 相似

AE / AE = DF / BD

DF / BF = CD / CE
DF * CE = BF * CD

[MathPower]

你好
想請教Q.25
謝謝

[thepiano]

第 25 題
198 = 2 * 3^2 * 11
分母有 2 一定可以化成有限小數
故 26mn607 是 9 和 11 之倍數
2 + 6 + m + n + 6 + 0 + 7 = m + n + 21 是 9 的倍數
m + n = 6，15
只有選項 (B) 符合
檢驗 2642607 / 11 亦整除

[abc17945]

老師您好，想請教第16題
我的想法設橢圓上動點(4cosx,3sinx) 因為x=45度，所以P=(4cos45,3sin45)，算出OP=(25/2)^1/2，但和答案不對，是不是哪裡想錯了?謝謝。

[ellipse]

老師您好，想請教第16題
我的想法設橢圓上動點(4cosx,3sinx) 因為x=45度，所以P=(4cos45,3sin45)，算出OP=(25/2)^1/2，但和答案不對，是不是哪裡想錯了?謝謝。

您這樣假設動點P(4cosx,3sinx),OP與x軸夾角並非45度
請參考下列動畫說明
https://isp.moe.edu.tw/upload/docs/sunn ... 4_02_6.swf
這題只要假設x=y=t代入x^2/16 +y^2/9 =1解t即可