99彰化女中

[八神庵]

請問各位老師 第19 20題 應該如何計算？謝謝
想不透不知如何下手

19.
x^n的極限
在0<x<1與1<x<2是不一樣的
分開討論就對了
20
令此三根為p,q,r
p+q+r=3
由柯西可求a的最大值
由算幾可求b的最大值

"由柯西可求a的最大值"
寫起來還是怪怪的，應該怎麼列式呢?

先由柯西不等式求出x^2+y^2+z^2>=6
再利用(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)代入可得a之Max

[mathblue]

第8題
令y=f(x)
移項整理成x的一元二次方程式
因y為實數,即x有實數解,D>=0變成y的一元二次不等式f(y)>=0
因y為實數,即D<0可解得a的範圍

為什麼不是D<=0呢
另外想請教第14題(2)
謝謝。

D<=0解出來的兩個等號解,代回去會使y的某一個值代入分母為0
代入分母為0就x沒有定義....定義域x就不是全部實數了


這一題題目如果要求定義域是所有實數是不會有解的.
所解出了的區域 -2<a<0 包含在分母有實數解的範圍.
題目如果改成在函數的定義域中值域是所有實數才有意義.
但是這樣在利用判別是解法的時候就會有問題產生. 因為此時
x是不能等於分母會等於0的x值. 對所有y 需有x的解 且 x不能為分母等於0的值.

[johncai]

14(2)
先利用x^3+y^3+z^3-3abc=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
因為x+y+z=0,所以x^3+y^3+z^3=3xyz,令xyz為k
再利用題目所給兩式求xy+yz+zx之值
利用根與係數關係得到x,y,z是某一個一元三次方程式f(a)的三個實根
先求f'(a)=0的兩根alpha,beta
再利用三實根的條件f(alpha)f(beta)<=0可求出Max

不太懂假設完f(a)之後的過程
可以請教一下原理嗎
謝謝

[f19791130]

第8題
假設a不等於0
將x趨近正負無窮大
得到f(x)之極限值為a
即f(x)有水平漸進線y=a
如此一來f(x)的範圍就非所有實數(a為斷點)
同理假設a等於0
也會產生類似情形
所以此題為解
我這樣做哪裡錯
煩請解答
謝謝

[f19791130]

抱歉
不是為解
是無解

[八神庵]

14(2)
先利用x^3+y^3+z^3-3abc=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
因為x+y+z=0,所以x^3+y^3+z^3=3xyz,令xyz為k
再利用題目所給兩式求xy+yz+zx之值
利用根與係數關係得到x,y,z是某一個一元三次方程式f(a)的三個實根
先求f'(a)=0的兩根alpha,beta
再利用三實根的條件f(alpha)f(beta)<=0可求出Max

不太懂假設完f(a)之後的過程
可以請教一下原理嗎
謝謝

題目不是有x+y+z=0與利用x^2+y^2+z^2=6算出來的xy+yz+zx的值嗎?
再利用公式把x^3+y^3+z^3轉換成3xyz
而x+y+z,xy+yz+zx與xyz不就是一個以x,y,z為三根的一元三次方程式f(a)=0
先令f'(a)=0(也就是對f(a)做微分)
得到兩個a值
因為這個方程式有三個實根
所以這兩個a值代入f(a)相乘會小於0
就可以得到k的範圍,再乘3就是所求

[mathblue]

第8題
假設a不等於0
將x趨近正負無窮大
得到f(x)之極限值為a
即f(x)有水平漸進線y=a
如此一來f(x)的範圍就非所有實數(a為斷點)
同理假設a等於0
也會產生類似情形
所以此題為解
我這樣做哪裡錯
煩請解答
謝謝

這一題 我的看法跟你一致. 題目需要改成在定義域上的值域是整個實數才有辦法解 可以參考我上一篇回復

[johncai]

可以請問一下19及20題的詳細過程嗎?
謝謝!

[thepiano]

第 19 題
0 ≦ x ≦ 1，lim[(x + x^n) / (1 + x^n)] = x
1 ≦ x ≦ 2，lim[(x + x^n) / (1 + x^n)] = 1
所求 = ∫[x(2 - x)]dx (從 0 積到 1) + ∫(2 - x)dx (從 1 積到 2)


第 20 題
令三根為 p，q，r
p + q + r = 3
pq + qr + rp = a
pqr = b

由算幾不等式
1 = (p + q + r) / 3 ≧ (pqr)^(1/3) = b^(1/3)
b ≦ 1

由柯西不等式
(p^2 + q^2 + r^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) ≧ (p + q + r)^2 = 9
p^2 + q^2 + r^2 ≧ 3

p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 - 2(pq + qr + rp) = 9 - 2a ≧ 3
a ≦ 3

[panda.xiong]

請問一下第2題要怎麼做？
由A,B,C,D,E,F,G,H八隊作單淘汰賽，若此八隊的實力相當，則A,D兩隊在冠亞軍賽相率的機率為何？