100年板橋高中數學考題

[thepiano]

第 6 題
a_n 應該是不能重複才能用人工算出來 ......

若 S_n 不是 3 的倍數，則 a_(n+1) 是 3 的倍數的話，S_(n+1) 也一定不是 3 的倍數
所以只要 a_1 不是排 3 的倍數，其餘位置都可以排 3 的倍數

再來先排 34 個除以 3 餘 1 和 33 個除以 3 餘 2 的數
若 a_1 ≡ 2 (mod 3)
以下數列是符合題意的 a_n 除以 3 之餘數排列
2，2，1，2，1，2，1，......
可發現除了 a_1，以下都是交錯排列
但 a_n ≡ 2 (mod 3) 的個數比 a_n ≡ 1 (mod 3) 的個數少 1 個
等 a_n ≡ 2 (mod 3) 都排完了，接下來一定會遇到連續兩個 a_n ≡ 1 (mod 3)，然後就爆了

故 a_1 ≡ 1 (mod 3)
以下數列是符合題意的 a_n 除以 3 之餘數排列
1，1，2，1，2，1，2，......
可發現除了 a_1，以下也都是交錯排列

最後把 33 個 a_n ≡ 0 (mod 3) 的數插入以上的 67 個間隔中

所求 = H(67，33) * 34! * 33! * 33!

[thepiano]

第 4 題
除了南極外

若北半球某條緯線的長(即繞一圓圈)是 200 km
在此緯線南方 200 km 處的點 A 都符合題目之要求

向北走 200 km → 該緯線上任一點 B
向東走 200 km → 繞該緯線一圈，回到 B
向南走 200 km → 回到 A

不過用走的，應該還沒走完，就掉進海裡了