100 麗山高中

[thepiano]

第 14 題
令 AB = x，∠BAC = 2θ，AD 平分 ∠BAC，交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) * x * 3 * sinθ + (1/2) * (15/x) * 3 * sinθ = (1/2) * 15 * sin2θ
cosθ = (1/10)(x + 15/x) ≧ (1/10) * 2√15 = √15 / 5
sin ≦ √10 / 5

所求 = (1/2) * 15 * sin2θ = 15 * sinθ * cosθ = 3√6


第 21 題
2x - 1/2 是整數
令 [3x + 1] = 2x - 1/2 = k
x = (2k + 1) / 4

k ≦ 3x + 1 ＜ k + 1
k ≦ (6k + 7) / 4 ＜ k + 1
-7/2 ≦ k ＜ -3/2
k = -2，-3
x = -3/4，-5/4

[addcinabo]

請問鋼琴老師,兩個三角函數不等號的方向不同,如何確定相乘即是最大呢?

[thepiano]

√15 / 5 ≦ cosθ ＜ 1
在 0 ＜ θ ＜ π/4 內
cosθ 遞減

0 ＜ sin ≦ √10 / 5
在 0 ＜ θ ＜ π/4 內
sinθ 遞增

sinθ * cosθ 在 (0，π/4) 遞增
故其最大值出現在 (√15 / 5) * (√10 / 5)

[addcinabo]

感謝鋼琴老師...

另外,再請教一題 第23題: 一袋中有9紅球,10白球,11黑球,今由袋中逐次取出一球並依序排成一列,則
最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的排列情形有幾種?

謝謝老師的指導^^

[thepiano]

第 23 題
之前的想法有問題，修正一下

(1)
最先被全部取出之順序為 紅球，白球，黑球
所以最後一球一定是黑球

先處理 9 紅球 10 白球的排列
由於紅球要比白球先取完
先留 1 白球在最後那個黑球之前
剩下的 9 紅球 9 白球有 18! / (9!9!) 種排法

RWRWRWRWRWRWRWRWRWWB 是其中一種排法

▲R▲W▲R▲W▲R▲W▲R▲W▲R▲W▲R▲W▲R▲W▲R▲W▲R▲W▲W▲B
最後的 10 個黑球可任意插入上面的 20 個 ▲ 中
方法數是 H(20，10) = C(29，10) = 29! / (10!19!)

所求 = [18! / (9!9!)] * [29! / (10!19!)] = 29! / (19 * 9! * 9! * 10!)

(2)
[29! / (19 * 9! * 9! * 10!)] / [30! / (9!10!11!)] = 11/57

[thepiano]

第 12 題
a_1 = 128，r = 3/2
a_2 = 192
a_3 = 288
a_4 = 432
a_5 = 648
a_6 = 972

為什麼這樣會有最大的 n 呢？
大概是
2^7 = 128 ＞ 100，剛好可以跟公比的分母 2 在 1000 之前一直約掉

此題要嚴謹的證明大概要寫一長篇 ......

[hugo]

想請問一下第五題該如何算呢??
謝謝

[thepiano]

第 5 題
延長 CD 交圓 O 於 E
AB^2 = BC * BE
BE = 12，DE = 6

延長 OD 交圓 O 於 F，G
令半徑為 r
FD * GD = CD * DE
(r - 2)(r + 2) = 3 * 6
r = √22

[hugo]

謝謝鋼琴老師的解題。那個應該是:CE=9

[lingling02]

..可提示9,10,11嗎? 感謝...