...很多題..需要老師們的解惑...感恩....資優和競試題
版主: thepiano
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lingling02
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資優和競試題
...很多題..需要老師們的解惑...感恩....- 附加檔案
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lingling02
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Re: 資優和競試題
thepiano 寫:題目多不是問題，問題是題號很亂啊 ......
..謝謝鋼琴老大的提醒...我己重編好了...
建議您重編題號
Re: 資優和競試題
先來幾題
第 3 題
(√(a^2 + 9) + a)(√(a^2 + 9) - a)(√(b^2 + 5) + b)(√(b^2 + 5) - b) = 12(√(a^2 + 9) - a)(√(b^2 + 5) - b)
(√(a^2 + 9) - a)(√(b^2 + 5) - b) = 45/12
所求 = (12 - 15/4)/2 = 33/8
第 8 題
令 a = (5 + x)^(1/3)，b = (-2 + x)^(1/3)
a^3 + b^3 = 2x + 3
a^3 - b^3 = 7
a^2 + b^2 = -ab + 7
a^2 + ab + b^2 = 7
a - b = 1
(b + 1)^2 + b(b + 1) + b^2 = 7
b = -2 or 1
a = -1 or 2
x = 3 or -6
第 10 題
分成 (1) x ＜ -3 (2) -3 ≦ x ≦ 1 (3) x ＞ 1
畫出 2|x - 1| - 3|x + 3| 之圖形
可知 2|x - 1| - 3|x + 3| ≦ 8
k ≧ 8
第 11 題
令此二位數為 10a + b
ab / (a + b) 為整數
易知 a 和 b 不可能同為奇數
一一檢驗以下的數即知答案
12，14，16，18
23，24，25，26，27，28，29
34，36，38
45，46，47，48，49
56，58
67，68，69
78
89
第 12 題
(a + b + c)[1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a)] = 10
展開 ......
c/(a + b) + a/(b + c) + b/(c + a) = 10 - 3 = 7
第 13 題
令 a = 2007
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) + 1 = (a^2 + 3a)^2 + 2(a^2 + 3a) + 1 = (a^2 + 3a + 1)^2
......
第 14 題
第 1 列左右兩數之和 = 101
第 2 列左右兩數之和 = 101 * 2
第 3 列左右兩數之和 = 101 * 2^2
:
:
k = 第 99 列左右兩數之和 = 101 * 2^98
第 15 題
在 BC 上取一點 E，使 CE = CA
則 BE = BD
易知 △CEI 和 △CAI 全等，△BEI 和 △BDI 全等
IA = IE = ID
第 17 題
(1)
令 BC = x 公里
(x + 1) / 5 + (x + 1) / 4 = 3/4
x = 2/3
(2)
設乙由 B 走到 C 的時速是 v
(2/3)/v + (2/3 + 1)/4 = 1
v = 8/7
第 18 題
n 是 4 的倍數，n + 2 為 2 的倍數，n(n + 1)(n + 2) 必為 8 的倍數，這樣的 n 有 24 個
n + 2 是 4 的倍數，n 為 2 的倍數，n(n + 1)(n + 2) 必為 8 的倍數，這樣的 n 也有 24 個
n + 1 是 8 的倍數，n(n + 1)(n + 2) 必為 8 的倍數，這樣的 n 有 12 個
所求 = (24 * 2 + 12) / 96 = 5/8
第 3 題
(√(a^2 + 9) + a)(√(a^2 + 9) - a)(√(b^2 + 5) + b)(√(b^2 + 5) - b) = 12(√(a^2 + 9) - a)(√(b^2 + 5) - b)
(√(a^2 + 9) - a)(√(b^2 + 5) - b) = 45/12
所求 = (12 - 15/4)/2 = 33/8
第 8 題
令 a = (5 + x)^(1/3)，b = (-2 + x)^(1/3)
a^3 + b^3 = 2x + 3
a^3 - b^3 = 7
a^2 + b^2 = -ab + 7
a^2 + ab + b^2 = 7
a - b = 1
(b + 1)^2 + b(b + 1) + b^2 = 7
b = -2 or 1
a = -1 or 2
x = 3 or -6
第 10 題
分成 (1) x ＜ -3 (2) -3 ≦ x ≦ 1 (3) x ＞ 1
畫出 2|x - 1| - 3|x + 3| 之圖形
可知 2|x - 1| - 3|x + 3| ≦ 8
k ≧ 8
第 11 題
令此二位數為 10a + b
ab / (a + b) 為整數
易知 a 和 b 不可能同為奇數
一一檢驗以下的數即知答案
12，14，16，18
23，24，25，26，27，28，29
34，36，38
45，46，47，48，49
56，58
67，68，69
78
89
第 12 題
(a + b + c)[1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a)] = 10
展開 ......
c/(a + b) + a/(b + c) + b/(c + a) = 10 - 3 = 7
第 13 題
令 a = 2007
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) + 1 = (a^2 + 3a)^2 + 2(a^2 + 3a) + 1 = (a^2 + 3a + 1)^2
......
第 14 題
第 1 列左右兩數之和 = 101
第 2 列左右兩數之和 = 101 * 2
第 3 列左右兩數之和 = 101 * 2^2
:
:
k = 第 99 列左右兩數之和 = 101 * 2^98
第 15 題
在 BC 上取一點 E，使 CE = CA
則 BE = BD
易知 △CEI 和 △CAI 全等，△BEI 和 △BDI 全等
IA = IE = ID
第 17 題
(1)
令 BC = x 公里
(x + 1) / 5 + (x + 1) / 4 = 3/4
x = 2/3
(2)
設乙由 B 走到 C 的時速是 v
(2/3)/v + (2/3 + 1)/4 = 1
v = 8/7
第 18 題
n 是 4 的倍數，n + 2 為 2 的倍數，n(n + 1)(n + 2) 必為 8 的倍數，這樣的 n 有 24 個
n + 2 是 4 的倍數，n 為 2 的倍數，n(n + 1)(n + 2) 必為 8 的倍數，這樣的 n 也有 24 個
n + 1 是 8 的倍數，n(n + 1)(n + 2) 必為 8 的倍數，這樣的 n 有 12 個
所求 = (24 * 2 + 12) / 96 = 5/8
Re: 資優和競試題
第 1 題
97 = (9^2 + 4^2)
85 = (9^2 + 2^2) = (7^2 + 6^2)
一一列出 ac - bd 和 ad + bc
可知 x + y 之最大值 = 73 + 54 = 127
第 2 題
A(4，-1) 關於 x - y - 1 = 0 之對稱點為 D(0，3)
A(4，-1) 關於 x = 1 之對稱點為 E(-2，-1)
直線 BC 就是直線 DE
第 4 題
通訊解題第八十四期最後一題
http://math1.ck.tp.edu.tw/%B3q%B0T%B8%D ... swer84.doc
第 5 題
第 1 組到第 n - 1 組共有 1 + 2 + 2^3 + ...... + 2^(n - 2) = 2^(n - 1) - 1 個數
第 n 組的第 1 個數是此數列的第 2^(n - 1) 個數 = 3 * 2^(n - 1) - 2
第 1 組到第 n 組共有 1 + 2 + 2^3 + ...... + 2^(n - 1) = 2^n - 1 個數
第 n 組的最後 1 個數是此數列的第 2^n - 1 個數 = 3 * (2^n - 1) - 2
第 n 組的最後 1 個數 = 3 * 2^n - 5
......
第 6 題
1 + 2ω + (2ω)^2 + (2ω)^3 + ...... + (2ω)^99
= 1 + 2ω + 2^2(-ω - 1) + 2^3 + 2^4ω + 2^5(-ω - 1) + ...... + 2^97ω + 2^98(-ω - 1) + 2^99 = a + bω
a = (1 + 2^3 + 2^6 + ...... + 2^99) - (2^2 + 2^5 + ...... + 2^98) = (2^101 + 3) / 7
2^101 是 31 位數，但首位數字為 2
故 a 是 30 位數
第 16 題
(1) 不妨令 a ＞ b
2a^2 ＞ a^2 + b^2 = 365
14 ≦ a ≦ 19
一一檢驗可知答案
(2) 不妨令 c ＞ d ＞ e
3c^2 ＞ c^2 + d^2 + e^2 = 365
12 ≦ c ≦ 19
一一檢驗可知答案
(3) 由 (14，13) 和 (12，11，10) 這兩組答案可知 m = 10，n = 2
97 = (9^2 + 4^2)
85 = (9^2 + 2^2) = (7^2 + 6^2)
一一列出 ac - bd 和 ad + bc
可知 x + y 之最大值 = 73 + 54 = 127
第 2 題
A(4，-1) 關於 x - y - 1 = 0 之對稱點為 D(0，3)
A(4，-1) 關於 x = 1 之對稱點為 E(-2，-1)
直線 BC 就是直線 DE
第 4 題
通訊解題第八十四期最後一題
http://math1.ck.tp.edu.tw/%B3q%B0T%B8%D ... swer84.doc
第 5 題
第 1 組到第 n - 1 組共有 1 + 2 + 2^3 + ...... + 2^(n - 2) = 2^(n - 1) - 1 個數
第 n 組的第 1 個數是此數列的第 2^(n - 1) 個數 = 3 * 2^(n - 1) - 2
第 1 組到第 n 組共有 1 + 2 + 2^3 + ...... + 2^(n - 1) = 2^n - 1 個數
第 n 組的最後 1 個數是此數列的第 2^n - 1 個數 = 3 * (2^n - 1) - 2
第 n 組的最後 1 個數 = 3 * 2^n - 5
......
第 6 題
1 + 2ω + (2ω)^2 + (2ω)^3 + ...... + (2ω)^99
= 1 + 2ω + 2^2(-ω - 1) + 2^3 + 2^4ω + 2^5(-ω - 1) + ...... + 2^97ω + 2^98(-ω - 1) + 2^99 = a + bω
a = (1 + 2^3 + 2^6 + ...... + 2^99) - (2^2 + 2^5 + ...... + 2^98) = (2^101 + 3) / 7
2^101 是 31 位數，但首位數字為 2
故 a 是 30 位數
第 16 題
(1) 不妨令 a ＞ b
2a^2 ＞ a^2 + b^2 = 365
14 ≦ a ≦ 19
一一檢驗可知答案
(2) 不妨令 c ＞ d ＞ e
3c^2 ＞ c^2 + d^2 + e^2 = 365
12 ≦ c ≦ 19
一一檢驗可知答案
(3) 由 (14，13) 和 (12，11，10) 這兩組答案可知 m = 10，n = 2
Re: 資優和競試題
第 7 題
這個很難用手算出來 ......
第 9 題
小弟算的答案也跟試題給的不一樣
把您的做法貼一下吧，謝謝！
這個很難用手算出來 ......
第 9 題
小弟算的答案也跟試題給的不一樣
把您的做法貼一下吧，謝謝！
Re: 資優和競試題
x^2+x+2>0 for all x belong to real numberthepiano 寫:第 7 題
這個很難用手算出來 ......
第 9 題
小弟算的答案也跟試題給的不一樣
把您的做法貼一下吧，謝謝！
分兩段做
1. 0<a<1
2x^2+ax+3 >= 3x^2+3x+6
x^2+(3-a)x+3 <= 0 , for all x belong to real number
這是不可能的
2. a>1
x^2+(3-a)x+3 >= 0
解 D=(3-a)^2-12 < 0 再與a>1取交集
得 1 < a <3+2sqrt(3)
不知是否和鋼琴兄算的一樣呢? 獻醜了