複數及其運算的幾何意義Q1

[M9331707]

不好意思,我這裡有四題待解題目
由於數學方程式無法呈現的問題,用doc格式上傳

[thepiano]

第 1 題
z_1 - 8i 和 z_2 在複數平面上對應的點所組成的圖形都是圓
z_1 - 8i：令 x = 2cosa，y = 2sina
z_2：令 x = 4cosb，y = 4sinb

ω 和 (z_1 - 8i - z_2) 在複數平面上對應的點所組成的圖形都是甜甜圈形，面積也一樣
易求出答案為 (6^2 - 2^2)π


第 2 題
令 z = x + yi
則 q = (-2y + 3) + (2x - 4)i
x 對應到 -2y + 3；y 對應到 2x - 4
所求是以 (3，-4) 為圓心，2r 為半徑之圓


第 3 題
由於主幅角是 (3/4)π，可令 ω = x - xi (x ＜ 0)
化簡 [(x + xi)^2 - 4] / (x - xi)，讓它的虛部為 0
可求出 x = -√2


第 4 題
題目中，集合 M 裡的 t 應是 t≠-1，t≠0

M：xy = 1，x≠1
N：x^2 + y^2 = (√2)^2

所以 M∩N 應是空集合！

[M9331707]

以下是我的想法:
第1題
ω=z1–z2=>ω-z1=-z2
|ω-z1|=|-z2|=4
只是我不知道為何|ω-z1|是環狀圖形?
第2題
|q-(3–4i)|=|2iz|=2r=>以(3,4)為圓心,2r為半徑
第3題
若複數x為實數,則x=xbar
利用此觀念,即可求出ω了!

不過還是感謝鋼琴老師幫忙解題!!

[eggsu]

＃１
由複數的三角不等式知：
| | z_1 - 8i | - | z_2 | | ≦ |(z_1 - 8i ) - z_2 | ≦ | z_1 - 8i | + | z_2 |
→ 2 ≦ |(z_1 - 8i ) - z_2 | ≦ 6
→ 2 ≦ | ω - 8i | ≦ 6
故面積為 (6^2 - 2^2 )π = 32π