101 台中一中

[thepiano]

請參考附件

第 15 題
題目又進化了

420 = 2^2 * 3 * 5 * 7
將 5 件不盡相異的物品 2、2、5、7、11 丟入 a、b、c 這 3 個相同的箱子內

(5，0，0)：1 種
(4，1，0)：4 種
(3，2，0)：7 種
(3，1，1)：7 種
(2，2，1)：9 種

所求 = 28 種

===============================================================

另解 [(3^5 - 3) - (3^4 - 3)] / 3! + 1 = 27 + 1 = 28

[milkie1013]

老師您好
想請教一下
為什麼 (5,0,0)這組不需扣掉呢
這樣代表的是{ 420,1,1}
寫成集合{a,b,c}不是應該三個元素相異?

[thepiano]

這是會有爭議的地方

出題老師最好要說一下這三數有沒有相異

[icebar]

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第 15 題
題目又進化了

420 = 2^2 * 3 * 5 * 7
將 5 件不盡相異的物品 2、2、5、7、11 丟入 a、b、c 這 3 個相同的箱子內

(5，0，0)：1 種
(4，1，0)：4 種
(3，2，0)：7 種
(3，1，1)：7 種
(2，2，1)：9 種

所求 = 28 種

===============================================================

另解 [(3^5 - 3) - (3^4 - 3)] / 3! + 1 = 27 + 1 = 28

另解看不懂，可請thepiano大大解說一下嗎？謝謝。

[thepiano]

先把三個箱子視為相異，二個 2 也視為相異
3^5 - 3 表示 5 件相異物品丟入 3 個相異箱子且最多只有 1 個空箱子的方法數

再來若 2、5、7、11 這四個先丟，有 (3^4 - 3) 方法
假設這四個丟完後是 a：{2}，b：{5、7}，c：{11}
(1) 第二個 2 丟入 a → 跟 a：{2}，b：{5、7}，c：{11} 和 第二個 2 丟入 a 相同
(2) 第二個 2 丟入 b → 跟 a：{}，b：{2、5、7}，c：{11} 和 第二個 2 丟入 a 相同
(3) 第二個 2 丟入 c → 跟 a：{}，b：{5、7}，c：{2、11} 和 第二個 2 丟入 a 相同
即把第二個 2 丟入任一個箱子都會重覆，所以要扣掉

除以 3! 是因為三個箱子本是相同的

最後加的 1 是指 {1，1，420}，不過，小弟覺得不應該算進去，這題答案若寫 27 而被打ㄨ算蠻冤的

其實這個寫法只是式子簡潔罷了，沒啥特殊之處